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Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mo 11.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Polarkoordinatenfunktion und transformieren Sie ihre Gleichung auf kartesische Koordinaten:
[mm] r(\phi)=sin(2*\phi) [/mm]

Also für die Skizze habe ich eine Wertetabelle gemacht mit
[mm] x=2*sin(\phi)*cos^2(\phi) [/mm]
&
[mm] y=2*sin^2(\phi)*cos(\phi) [/mm]

Die Skizze sah auch aus wie folgender Plot:
[]Plot

Jetzt habe ich aber Probleme bei der Transformation auf kartesische Koordinaten:

[mm] r=sin(2*\phi) [/mm]

[mm] \sqrt{x^2+y^2}=sin(2*arctan(\bruch{y}{x}) [/mm]

[mm] \sqrt{x^2+y^2}=2*sin(arctan(\bruch{y}{x})*cos(arctan(\bruch{y}{x}) [/mm]

[mm] \sqrt{x^2+y^2}=2*\bruch{\bruch{y}{x}}{\sqrt{1+\(\bruch{y}{x})^2}}*\bruch{1}{\sqrt{1+\(\bruch{y}{x})^2}} [/mm]

[mm] \sqrt{x^2+y^2}=2*\bruch{\bruch{y}{x}}{1+(\bruch{y}{x})^2} [/mm]

[mm] \sqrt{x^2+y^2}*(1+\(\bruch{y}{x})^2)=2*\bruch{y}{x} [/mm]

[mm] (x^2+y^2)*(1+2*(\bruch{y}{x})^2+(\bruch{y}{x})^4=4*(\bruch{y}{x})^2 [/mm]

[mm] x^2+3*y^2+3*\bruch{y^4}{x^2}+\bruch{y^6}{x^4}=4*(\bruch{y^2}{x^2}) [/mm]

[mm] x^4+3*x^2*y^2+3*y^4+\bruch{y^6}{x^2}=4*y^2 [/mm]

[mm] x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4-4*x^2y^2=0 [/mm]

Aber jetzt weis ich nicht wie ich da weiter machen könnte.
[keineahnung]
Irgendwelche Ideen?
Danke und Gruß,
tedd
        
Bezug
Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mo 11.08.2008
Autor: Al-Chwarizmi

  
> [mm]x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4-4*x^2y^2=0[/mm]
>  
> Aber jetzt weis ich nicht wie ich da weiter machen könnte.


Falls du so weit richtig gerechnet hast (habe ich nicht
kontrolliert), musst du gar nicht weiter machen, denn eine
solche implizite Kurvendarstellung ist durchaus in Ordnung.
Bezug
                
Bezug
Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 11.08.2008
Autor: tedd

Ahhh okay...
Also könnte es sein, dass ich bei solchen Aufgabestellungen gar nicht nach y auflösen kann(Satz von der impliziten Funktion)?
Danke und Gruß,
tedd
Bezug
                        
Bezug
Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mo 11.08.2008
Autor: Al-Chwarizmi


>  Also könnte es sein, dass ich bei solchen
> Aufgabestellungen gar nicht nach y auflösen kann(Satz von
> der impliziten Funktion)?


Die vorliegende Gleichung könnte man wohl notfalls
auch nach  y  auflösen (mittels Cardanischer Formeln
und Fallunterscheidungen). Das Ergebnis wäre aber
kompliziert und ausserdem kaum nützlicher als die
implizite Gleichung - insbesondere in der von Somebody
angegebenen Form.
Bezug
                                
Bezug
Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Mo 11.08.2008
Autor: tedd

Okay! [ok]
Danke für eure hilfe ihr 2. Hat mir sehr geholfen :-)
Bezug
        
Bezug
Polarkoord.->kartes.Koordinat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mo 11.08.2008
Autor: Somebody


> Skizzieren Sie den Graphen der folgenden
> Polarkoordinatenfunktion und transformieren Sie ihre
> Gleichung auf kartesische Koordinaten:
>  [mm]r(\phi)=sin(2*\phi)[/mm]
>  Also für die Skizze habe ich eine Wertetabelle gemacht mit
> [mm]x=2*sin(\phi)*cos^2(\phi)[/mm]
>  &
>  [mm]y=2*sin^2(\phi)*cos(\phi)[/mm]
>  
> Die Skizze sah auch aus wie folgender Plot:
>  []Plot
>  
> Jetzt habe ich aber Probleme bei der Transformation auf
> kartesische Koordinaten:
>  
> [mm]r=sin(2*\phi)[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=sin(2*arctan(\bruch{y}{x})[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=2*sin(arctan(\bruch{y}{x})*cos(arctan(\bruch{y}{x})[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=2*\bruch{\bruch{y}{x}}{\sqrt{1+\(\bruch{y}{x})^2}}*\bruch{1}{\sqrt{1+\(\bruch{y}{x})^2}}[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=2*\bruch{\bruch{y}{x}}{1+(\bruch{y}{x})^2}[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}*(1+\(\bruch{y}{x})^2)=2*\bruch{y}{x}[/mm]
>  
> [mm](x^2+y^2)*(1+2*(\bruch{y}{x})^2+(\bruch{y}{x})^4=4*(\bruch{y}{x})^2[/mm]
>  
> [mm]x^2+3*y^2+3*\bruch{y^4}{x^2}+\bruch{y^6}{x^4}=4*(\bruch{y^2}{x^2})[/mm]
>  
> [mm]x^4+3*x^2*y^2+3*y^4+\bruch{y^6}{x^2}=4*y^2[/mm]
>  
> [mm]x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4-4*x^2y^2=0[/mm]

[ok] Dies kannst Du noch hübscher schreiben [mm] $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$, [/mm] aber implizit bleibt die Gleichung für das []Quadrifolium in kartesischen Koordinaten auch so.

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