Polarform bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Polarform von:
[mm]$\bruch{(\wurzel{3}-i)^{28}}{(2+2i)^{17}}$[/mm] |
Mein Lösungsweg ist so das ich erstmal die Polarformen des Nenners und Zählers bestimme, also den Betrag und den Winkel im Bogenmaß(muss das ohne Taschenrechner machen):
[mm]$ a= \wurzel{3}-i$[/mm]
[mm]$ \left| a \right| =2$[/mm]
[mm]$\alpha= \sin^{-1}(\bruch{-1}{2})$[/mm]
Ok den Arccusssinus von [mm]$\bruch{1}{2}$[/mm] kann ich aus der Sinusfunktionstabelle ablesen (bzw weiss ich auswendig), der ist [mm]$\bruch{\pi}{6}$[/mm] also ist [mm]$\bruch{-1}{2}=\bruch{-\pi}{6}$[/mm].
Aber wenn ich jetzt über den Kosinus gehen anstatt über den Sinus erhalte ich:
[mm]$\alpha= \cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})$[/mm]
und wenn ich das ([mm]$\bruch{1}{2}\wurzel{3}$[/mm])aus der Tabelle ablese bekomme ich [mm]$\bruch{\pi}{6}$[/mm].
Mit welchem Ergebnis muss ich denn nun weiterrechnen?
Für die Komplexe Zahl des Nenners ergibt sich das Problem nicht da sind beide Ergebnisse gleich.
Aber es verändert ja das Endergebnis ob ich mit + oder - Pi/6 weiter rechne.
In der Musterlösung wurde mit -pi/6 weitergerechnet und der Rest des Wegs ist mir auch klar aber die Bestimmung des Winkels bereitet mir Schwierigkeiten.
Vielen Dank
Marc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo mighttower2,
> Bestimmen Sie die Polarform von:
> [mm]$\bruch{(\wurzel{3}-i)^{28}}{(2+2i)^{17}}$[/mm]
> Mein Lösungsweg ist so das ich erstmal die Polarformen des
> Nenners und Zählers bestimme, also den Betrag und den
> Winkel im Bogenmaß(muss das ohne Taschenrechner machen):
> [mm]$ a= \wurzel{3}-i$[/mm]
> [mm]$ \left| a \right| =2$[/mm]
> [mm]$\alpha= \sin^{-1}(\bruch{-1}{2})$[/mm]
>
> Ok den Arccusssinus von [mm]$\bruch{1}{2}$[/mm] kann ich aus der
> Sinusfunktionstabelle ablesen (bzw weiss ich auswendig),
> der ist [mm]$\bruch{\pi}{6}$[/mm] also ist
> [mm]$\bruch{-1}{2}=\bruch{-\pi}{6}$[/mm].
> Aber wenn ich jetzt über den Kosinus gehen anstatt über
> den Sinus erhalte ich:
> [mm]$\alpha= \cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})$[/mm]
> und wenn ich
> das ([mm]$\bruch{1}{2}\wurzel{3}$[/mm])aus der Tabelle ablese
> bekomme ich [mm]$\bruch{\pi}{6}$[/mm].
> Mit welchem Ergebnis muss ich denn nun weiterrechnen?
> Für die Komplexe Zahl des Nenners ergibt sich das Problem
> nicht da sind beide Ergebnisse gleich.
> Aber es verändert ja das Endergebnis ob ich mit + oder -
> Pi/6 weiter rechne.
>
> In der Musterlösung wurde mit -pi/6 weitergerechnet und der
> Rest des Wegs ist mir auch klar aber die Bestimmung des
> Winkels bereitet mir Schwierigkeiten.
Folgende Überlegung ist hier nützlich:
[mm]sin\left(\alpha\right) < 0 \Rightarrow -\pi < \alpha < 0[/mm]
[mm]cos\left(\alpha\right) > 0 \Rightarrow -\bruch{\pi}{2} < \alpha < \bruch{\pi}{2}[/mm]
Hieraus ergibt sich: [mm] -\bruch{\pi}{2} < \alpha < 0[/mm]
Demnach mußt Du mit [mm]\alpha=-\bruch{\pi}{6}[/mm] weiterrechnen.
> Vielen Dank
> Marc
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruß
MathePower
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Ok das hilft mir in dem Fall weiter, wie sieht diese Regel für
[mm]$ \sin\left(\alpha\right) > 0 $[/mm]
[mm]$ \cos\left(\alpha\right) < 0 $[/mm]
aus?
Vielen Dank
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Hallo mighttower2,
> Ok das hilft mir in dem Fall weiter, wie sieht diese Regel
> für
> [mm]$ \sin\left(\alpha\right) > 0 $[/mm]
> [mm]$ \cos\left(\alpha\right) < 0 $[/mm]
> aus?
Da musst Du dann Intervalle bestimmen für die
[mm]\sin\left(\alpha\right) > 0[/mm]
und
[mm]\cos\left(\alpha\right) < 0[/mm]
Hier ergeben sich folgenden Intervalle:
[mm]\sin\left(\alpha\right) > 0 \Rightarrow 0 < \alpha < \pi[/mm]
[mm]\cos\left(\alpha\right) < 0 \Rightarrow \bruch{\pi}{2} < \alpha < \bruch{3\pi}{2}[/mm]
Diese Intervalle werden jetzt miteinander geschnitten:
[mm]\Rightarrow \bruch{\pi}{2} < \alpha < \pi[/mm]
Das geht analog für die verbleibenden Fälle
[mm]\sin\left(\alpha\right) > 0, \ \cos\left(\alpha\right) > 0[/mm]
und
[mm]\sin\left(\alpha\right) < 0, \ \cos\left(\alpha\right) < 0[/mm]
> Vielen Dank
Gruß
MathePower
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Vielen dank Problem gelöst!
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