Poissonverteilung, Var und E < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 08.10.2006 | | Autor: | Schnepfi |
| Aufgabe | Eine KFZ Versicherung nimmt an, dass die jährliche Unfallhäufigkeit ihrer Versicherungsnehmer poissonverteilt ist. Der Parameter [mm] \lambda [/mm] unterscheidet sich bei den Kunden. Bei 20% beträgt er [mm] \lambda [/mm] =1, bei 60% [mm] \lambda [/mm] =2 und bei 20% der Kunden [mm] \lambda [/mm] =3.
b) Die Schadenssumme bei verschiedenen Unfällen seien voneinander unabhängig mi EW 2000 und Standardabweichung 500. Wie groß ist dann der EW des zu erwartenden jährlichen Gesamtschadens? |
Ich habe diese Frage in keinen Foren auf anderen Internetseiten gestellt
In Teilaufgabe a sollte ich EW und die Var der jährlichen Unfallhäufigkeit für einen zufällig ausgewählten Versicherten berechnen. Ich komme auf E(X)= 0,2*1+0,6*2+0,2*3=2 ; Var(X) = 0,2*0,2*1+0,6*0,6*2+0,2*0,2*3=0,88.
Zu b) Um die Schadenssumme zu ermitteln ist mein Ansatz 2*2000=4000.
Also einfach die erwartete Schadenshäufigkeit multipliziert mit dem Schaden. Allerdings kommt mir das ziemlich leicht vor, irgendwie zu einfach, zumal ich die in der Aufgabenstellung angegebene Standardabweichung gar nicht benötige... Wäre super, wenn mir jemand sagen kann, ob ich recht habe oder wie der richtige Ansatz lautet.
Vielen Dank, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 09.10.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo Steffi,
ich kann dich beruhigen - es ist richtig, aber die Begründung erfordert schon ein paar kleine Überlegungen: Mit den Zufallsgrößen
$X$ ... Anzahl der Schäden
[mm] $S_k$ [/mm] ... Schadensumme von Unfall $k$
$S$ ... Gesamtschadensumme
gilt der Zusammenhang $S = [mm] \sum\limits_{k=1}^X [/mm] ~ [mm] S_k$. [/mm] Das ist eine Summe von Zufallsgrößen, wo auch die Anzahl der Summanden - nämlich $X$ - selbst zufällig ist. Wie berechnet man von sowas den Erwartungswert? Nun, über die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit:
$$ E(S) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} [/mm] ~ [mm] P(X=n)\cdot [/mm] E(S [mm] \bigm| [/mm] X=n)$$
Rechts steht nun der bedingte Erwartungswert von $S$ unter der Bedingung einer festen Summandenanzahl $X=n$. Damit kann man umformen
$$E(S [mm] \bigm| [/mm] X=n) = [mm] E\left(\sum\limits_{k=1}^X ~ S_k \bigm| X=n\right) [/mm] = [mm] E\left(\sum\limits_{k=1}^n ~ S_k \bigm| X=n\right) [/mm] = [mm] E\left(\sum\limits_{k=1}^n ~ S_k\right) [/mm] = [mm] n\cdot E(S_1) [/mm] .$$
Beim letzten = wurde die identische Verteilung aller [mm] $S_k$ [/mm] genutzt (Repräsentant ist dann z.B. [mm] $S_1$), [/mm] und beim vorletzten = die Unabhängigkeit von $X$ und allen [mm] $S_k$. [/mm] Es folgt
$$ E(S) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} [/mm] ~ [mm] P(X=n)\cdot n\cdot E(S_1) [/mm] = [mm] E(X)\cdot E(S_1) [/mm] .$$
Die Varianz [mm] $\operatorname{var}(S_1)$ [/mm] wird also wirklich nicht gebraucht. Vielleicht gibt es noch eine zweite Teilaufgabe, wo man dann noch nach der Varianz [mm] $\operatorname{var}(S)$ [/mm] der Gesamtschadensumme fragt? In dem Fall braucht man dann [mm] $\operatorname{var}(S_1)$.
[/mm]
Gruß,
Dirk
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| Aufgabe | Diese (Teil-) Aufgabe bezieht sich auf die Aufgabe, die ich oben gestellt habe.
Die Versicherung erstellt einen Drei-Klassen-Tarif. Da der Parameterwert der einzelnen Versicherten unbeobachtbar ist, erfolgt die Zuordnung in die Tarifklassen nach der Schadenshäufigkeit des Vorjahres: Bei keinem oder einem Schaden wird der Versicherte in die Klasse I eingeteilt, bei 2 Schäden in Klasse II und bei 3 und mehr Schäden in die Klasse III. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Versicherter
c) mit Parameterwert1 (bzw. 2 oder 3) der Klasse II zugeordnet wird
d) der Tarifklasse II angehört
e) der Tarifklasse II den Parameterwert 1(bzw 2 oder 3) besitzt |
Erstmal vielen Dank für die Antwort!!
Es geht tatsächlich noch (nach dieser Zusatzinfo, die in der Fragestellung steht) mit 3 Teilaufgaben weiter, die Varianz brauche ich jedoch wieder nicht. Da mir die Aufgabe nicht wirklich liegt, würde ich mich über Kommentare zu meiner Lösung sehr freuen.
c) Mit X= Anzahl der Schaden
habe ich einfach in die Poissonverteilung
P (X=k) [mm] =\left( \bruch{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \right) [/mm] folgendes eingesetzt: k=2 da man berechnen soll, dass der Versicherte in KLasse II ist, also im Vorjahr 2 Unfälle hatte. Dann habe ich für [mm] \lambda [/mm] jeweils 1, 2 und 3 eingesetzt, da ich ja das Ergebnis für die entsprechenden Parameterwerte berechnen soll. Für [mm] \lambda [/mm] = 1 bzw 2 bzw 3 erhalte ich 0,1839 bzw 0,2707 bzw 0,2240
d) Dass der Versicherte der Tarifklasse 2 angehört bedeutet aus meiner Sicht, dass er ihr angehört und eine beliebige Anzal Unfälle hat, also Typ 1 oder 2 oder 3 ist. Deswegen habe ich die 3 Ergebniss aus c) einfach addiert. 0,1839 + 0,2707 + 0,2240= 0,6786.
e)Bei dieser Aufgabe weiß ich leider nicht weiter. Einerseits würde ich einfach wieder Werte einsetzen wie ich das bei der d) schon getan habe, andererseits habe ich das Gefühl, dass ich es hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun habe. Aber wie das mathematisch geht weiß ich leider nicht.
Vielen Dank, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:54 Mi 11.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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