Poissonverteilung,Parameter < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Fr 24.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | An 10 Tagen wurde in einer Bank zwischen 12 und 13 Uhr die Anzahl der Kunden beobachtet, die ein Beratungsgespräch wünschen. Folgende Anzahlen: 5,6,3,8,2,5,4,2,3,7. Passen Sie ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmodell an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Kunden innerhalb dieses Zeitraums ein Beratungsgespräch wünschen. |
Hallo,
Perfektes Bsp für die Poissonverteilung.
[mm] \Omega= \{ \omega=(\omega_1,.., \omega_{10}): \omega_i \in \{0,1,..\}\}
[/mm]
[mm] X_i (\omega)= \omega_i
[/mm]
[mm] X(\omega)= \sum_{i=1}^n X_i (\omega)
[/mm]
[mm] p((\omega_1,.., \omega_{10}))= \prod_{i=1}^{10} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\omega_i}}{\omega_i !}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = E[X]= [mm] \sum_{i=1}^{10} E[X_i]= \sum_{i=1}^{10} [/mm] ( [mm] \sum_{k\ge0} [/mm] k* [mm] P(X_i=k)) [/mm]
Intuitiv ist der Erwartungswert der Durchschnitt aller möglich Werte der Zufallsvariablen, der wäre 4,5. Aber in der Wahrscheinlichkeit möchte ich nicht mit Intuition sondern mit Fakten argumentieren!
Hat wer Rat?
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Kunden innerhalb dieses Zeitraums ein Beratungsgespräch wünschen.
Aber hier beschränkt man sich wieder auf einen Tag.
[mm] P(X_i \ge [/mm] 3) = 1- [mm] P(X_i=0) [/mm] - [mm] P(X_i=1)-P(X_i=2) [/mm] =
[mm] 1-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{0}}{0!}-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{1}}{1!}-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{2}}{2!}
[/mm]
LG
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> An 10 Tagen wurde in einer Bank zwischen 12 und 13 Uhr die
> Anzahl der Kunden beobachtet, die ein Beratungsgespräch
> wünschen. Folgende Anzahlen: 5,6,3,8,2,5,4,2,3,7. Passen
> Sie ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmodell an und
> berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei
> Kunden innerhalb dieses Zeitraums ein Beratungsgespräch
> wünschen.
> Hallo,
> Perfektes Bsp für die Poissonverteilung.
> [mm]\Omega= \{ \omega=(\omega_1,.., \omega_{10}): \omega_i \in \{0,1,..\}\}[/mm]
>
> [mm]X_i (\omega)= \omega_i[/mm]
> [mm]X(%5Comega)%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20X_i%20(%5Comega)[/mm]
>
> [mm]p((\omega_1,.., \omega_{10}))= \prod_{i=1}^{10} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\omega_i}}{\omega_i !}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = E[X]= [mm]\sum_{i=1}^{10} E[X_i]= \sum_{i=1}^{10}[/mm] (
> [mm]\sum_{k\ge0}[/mm] k* [mm]P(X_i%3Dk))[/mm]
>
>
> Intuitiv ist der Erwartungswert der Durchschnitt aller
> möglich Werte der Zufallsvariablen, der wäre 4,5. Aber in
> der Wahrscheinlichkeit möchte ich nicht mit Intuition
> sondern mit Fakten argumentieren!
> Hat wer Rat?
Hallo,
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Kunde an einem bestimmten der 10 Tage kommt, beträgt doch 1/10.
Damit hast Du dann Deine 4.5
LG Angela
>
>
> Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Kunden innerhalb
> dieses Zeitraums ein Beratungsgespräch wünschen.
> Aber hier beschränkt man sich wieder auf einen Tag.
> [mm]P(X_i \ge[/mm] 3) = 1- [mm]P(X_i=0)[/mm] - [mm]P(X_i=1)-P(X_i=2)[/mm] =
> [mm]1-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{0}}{0!}-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{1}}{1!}-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{2}}{2!}[/mm]
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Fr 24.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Angela,
> > Intuitiv ist der Erwartungswert der Durchschnitt aller
> > möglich Werte der Zufallsvariablen, der wäre 4,5. Aber
> in
> > der Wahrscheinlichkeit möchte ich nicht mit Intuition
> > sondern mit Fakten argumentieren!
> > Hat wer Rat?
> die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Kunde an einem
> bestimmten der 10 Tage kommt, beträgt doch 1/10.
> Damit hast Du dann Deine 4.5
Dem kann ich leider nicht folgen.
Du addierst also alle Kundenzahlen der 10 Tage und gehst davon aus, dass die Bank genau so viele Kunden hat, die an jedem Tag mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch1{10}$ [/mm] kommen?
Ich würde davon ausgehen, dass es sich bei den Kunden, die innerhalb der 10 Tage ein Beratungsgespräch wollten, nur um einen Bruchteil der Kunden der Bank handelt. Wenn man nun einen beliebigen weiteren Tag nimmt, werden vermutlich andere Kunden ein Beratungsgespräch wünschen als die Kunden, die an den 10 Tagen da waren.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Fr 24.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Perfektes Bsp für die Poissonverteilung.
> [mm]\Omega= \{ \omega=(\omega_1,.., \omega_{10}): \omega_i \in \{0,1,..\}\}[/mm]
>
> [mm]X_i (\omega)= \omega_i[/mm]
> [mm]X(\omega)= \sum_{i=1}^n X_i (\omega)[/mm]
>
> [mm]p((\omega_1,.., \omega_{10}))= \prod_{i=1}^{10} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\omega_i}}{\omega_i !}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = E[X]= [mm]\sum_{i=1}^{10} E[X_i]= \sum_{i=1}^{10}[/mm] (
> [mm]\sum_{k\ge0}[/mm] k* [mm]P(X_i=k))[/mm]
>
>
> Intuitiv ist der Erwartungswert der Durchschnitt aller
> möglich Werte der Zufallsvariablen, der wäre 4,5. Aber in
> der Wahrscheinlichkeit möchte ich nicht mit Intuition
> sondern mit Fakten argumentieren!
> Hat wer Rat?
Ich gehe davon aus, dass der/die Aufgabensteller(in) voll zufrieden mit deiner Lösung ist. Ich vermute, man soll "intuitiv" die Gesamtzahl der Kunden, die sich in den 10 Tagen gemeldet haben, als "sinnvolle" Grundlage für eine Schätzung von [mm] $\lambda$ [/mm] wählen. [mm] $\lambda$ [/mm] ist die langfristige mittlere Kundenzahl an einem Tag von 12-13 Uhr. Nun erscheint es "plausibel", sie mittels der mittleren Kundenzahl von 12-13 Uhr an den 10 Tagen zu schätzen.
Wenn man mit Fakten argumentieren will, braucht man aus meiner Sicht Kenntnisse der Statistik, denn hier liegt ein statistisches Problem vor: Wir kennen die genaue Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm] $\Omega$ [/mm] nicht. Zwar können wir sie als eine Poisson-Verteilung annehmen, kennen jedoch deren "wahren" Parameter nicht. Wir können diesen Parameter nur aufgrund der Beobachtungen der 10 Tage schätzen.
Selbst mit Kenntnissen in Statistik kommt man nicht zu einer eindeutigen Schätzung des Parameters [mm] $\lambda$. [/mm] Man kann höchstens untersuchen, ob das gewählte Schätzverfahren unter gewissen Kriterien optimal ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 24.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
da war ich wohl ein wenig voreilig:
> Perfektes Bsp für die Poissonverteilung.
> [mm]\Omega= \{ \omega=(\omega_1,.., \omega_{10}): \omega_i \in \{0,1,..\}\}[/mm]
>
> [mm]X_i (\omega)= \omega_i[/mm]
> [mm]X(\omega)= \sum_{i=1}^n X_i (\omega)[/mm]
>
> [mm]p((\omega_1,.., \omega_{10}))= \prod_{i=1}^{10} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{\omega_i}}{\omega_i !}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = E[X]= [mm]\sum_{i=1}^{10} E[X_i]= \sum_{i=1}^{10}[/mm] (
> [mm]\sum_{k\ge0}[/mm] k* [mm]P(X_i=k))[/mm]
[mm] $\lambda$ [/mm] ist nicht der Erwartungswert von $X$, sondern jeweils der Erwartungswert der [mm] $X_i$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Sa 25.05.2013 | | Autor: | sissile |
Jetzt bin ich etwas verwirrt.
Ist nun [mm] p((\omega_1 [/mm] ,.., [mm] \omega_{10})) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{10} e^{-4,5} \frac{4,5^{\omega_i}}{\omega_i !} [/mm] falsch?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:36 Sa 25.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt bin ich etwas verwirrt.
> Ist nun [mm]p((\omega_1[/mm] ,.., [mm]\omega_{10}))[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^{10} e^{-4,5} \frac{4,5^{\omega_i}}{\omega_i !}[/mm]
> falsch?
Nein. Lediglich [mm] $\lambda=EX$ [/mm] war falsch. An der Richtigkeit deiner Lösung als Ganzes ändert das nichts.
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