Poissonverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Anzahl der Studierenden, die eine Vorlesung für Anatomie besuchen, ist
poissonverteilt mit Parameter λ > 0. Diese Studierenden studieren jeweils mit Wahrscheinlichkeit
p unabhängig voneinander Medizin, wobei p ∈ (0, 1).
Sei X die Anzahl der Mediziner, die die Sprechstunde besuchen, und sei Y die
Anzahl der Studierende, die die Sprechstunde besuchen, aber keine Mediziner sind.
Zeigen Sie, dass X und Y unabhängig sind.
Hinweis:
1) [mm] $\mathbb{P}(X=k [/mm] | [mm] Y=n)=\frac{\mathbb{P}(X=k, Y=n)}{\mathbb{P}(Y=n)}=\frac{\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda} \left( \begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}}{\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}$
[/mm]
2) [mm] $\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k} p^{k}}{k !}$ [/mm] |
Hallo.
Ich sitze gerade vor einer sehr komplexen Aufgabe (für mich, für euch bestimmt kinderleicht:))
Könnte mir bitte Jemand helfen diese Aufgabe zu knacken?
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Hiho,
> Könnte mir bitte Jemand helfen diese Aufgabe zu knacken?
schreib doch erst mal hin, was du weißt:
Vorweg: Wir ignorieren die Hinweise erst mal und erarbeiten uns das selbst.
Dann: Mal redest du von "Vorlesung" dann von "Sprechstunde".... bitte nächste mal einheitlicher Abtippen.
Nun zur Aufgabe:
> Die Anzahl der Studierenden, die eine Vorlesung für Anatomie besuchen, ist poissonverteilt mit Parameter λ > 0
1.) Sei X nun die Anzahl dieser studierenden. Dann ist X wie verteilt? Folglich gelten welche Wahrscheinlichkeiten?
> Diese Studierenden studieren jeweils mit Wahrscheinlichkeit p unabhängig voneinander Medizin, wobei p ∈ (0, 1).
2.) Sei Z die Anzahl der Studenten, die nun Medizin studieren. Wie ist Z dann verteilt?
Tipp: Sei [mm] X_i [/mm] die ZV, die für den i-ten Studenten entscheidet, ob er Medizin studiert [mm] ($X_i [/mm] = 1$) , oder nicht [mm] ($X_i [/mm] = 0$). Wie ist [mm] X_i [/mm] dann verteilt? Z ist dann die Summe aller [mm] X_i [/mm] (über welche Grenzen?), wie ist die Summe der unabhängigen [mm] X_i [/mm] dann verteilt?
> Sei X die Anzahl der Mediziner, die die Sprechstunde besuchen, und sei Y die Anzahl der Studierende, die die Sprechstunde besuchen, aber keine Mediziner sind.
> Zeigen Sie, dass X und Y unabhängig sind
3.) Mit den Überlegungen von 1.) und 2.) gilt dann $Y = X - Z$
Was muss nun gelten, damit X und Y unabhängig sind?
Gruß,
Gono
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Guten Abend,
danke für die schnelle Antwort.
> schreib doch erst mal hin, was du weißt:
Also ich weiß dass [mm] $\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}$ [/mm] für ein [mm] $\lambda>0$ [/mm] gilt.
> 1.) Sei X nun die Anzahl dieser studierenden. Dann ist X wie verteilt? Folglich gelten welche Wahrscheinlichkeiten?
X ist Poisson verteilt. Also [mm] $\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}$
[/mm]
> 2.) Sei Z die Anzahl der Studenten, die nun Medizin studieren. Wie ist Z dann verteilt?
Dies hört sich nach Binominalverteilung an also [mm] $\mathbb{P}(X=k)=\left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad [/mm] k=0, [mm] \ldots, [/mm] n$
> Tipp: Sei $ [mm] X_i [/mm] $ die ZV, die für den i-ten Studenten entscheidet, ob er Medizin studiert ($ [mm] X_i [/mm] = 1 $) , oder nicht ($ [mm] X_i [/mm] = 0 $). Wie ist $
> [mm] X_i [/mm] $ dann verteilt? Z ist dann die Summe aller $ [mm] X_i [/mm] $ (über welche Grenzen?), wie ist die Summe der unabhängigen $ [mm] X_i [/mm] $ dann verteilt?
Ok hier muss ich jetzt kurz einhaken, denn ich verstehe es nicht:)
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Hiho,
> Guten Abend,
> danke für die schnelle Antwort.
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> > schreib doch erst mal hin, was du weißt:
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> Also ich weiß dass [mm]\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}[/mm]
> für ein [mm]\lambda>0[/mm] gilt.
>
> > 1.) Sei X nun die Anzahl dieser studierenden. Dann ist X
> wie verteilt? Folglich gelten welche Wahrscheinlichkeiten?
>
> X ist Poisson verteilt. Also
> [mm]\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > 2.) Sei Z die Anzahl der Studenten, die nun Medizin
> studieren. Wie ist Z dann verteilt?
>
> Dies hört sich nach Binominalverteilung an also
> [mm]\mathbb{P}(X=k)=\left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k=0, \ldots, n[/mm]
Wieder einmal schlampige Notation. Wir reden hier von der Zufallsvariablen Z, wie kann dann P(X=k) berechnet werden?
Und: Du sagst nun, Z sei binomialverteilt. Da kommt ja ein n drin vor.
Was ist das für ein n, wo kommt das her? Was drückt das aus?
Gruss,
Gono
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Guten Morgen.
> Wieder einmal schlampige Notation. Wir reden hier von der Zufallsvariablen Z, wie kann dann P(X=k) berechnet werden?
> Und: Du sagst nun, Z sei binomialverteilt. Da kommt ja ein n drin vor.
> Was ist das für ein n, wo kommt das her? Was drückt das aus?
Tut mir leid, ich habe das einfach kopiert, ohne Z einzusetzen.
Das n würde meiner Meinung nach für die Gesamtanzahl der Studenten stehen und das k für die, die in die Sprechstunde gehen, wobei $ [mm] k\in N_0$?
[/mm]
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Hiho,
> Das n würde meiner Meinung nach für die Gesamtanzahl der
> Studenten stehen und das k für die, die in die
> Sprechstunde gehen, wobei [mm]k\in N_0[/mm]?
Aber die Anzahl der Studenten ist doch zufällig poisson-verteilt.... wie kannst du dann einfach ein fixes [mm] $n\in\IN$ [/mm] wählen?
Gruß,
Gono
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Hi
> Aber die Anzahl der Studenten ist doch zufällig poisson-verteilt.... wie kannst du dann einfach ein fixes $ [mm] n\in\IN [/mm] $ wählen?
Garnicht.
Mmh gut vergessen wir die Binominalverteilung, ich dachte nur es würde passen, aber meine mathematischen Fähigkeiten lasse zu wünschen übrig:=)
Also ich bin ehrlich, ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Welche Verteilung wäre dann Sinnvoll? erneut Poisson? Naja eigentlich wäre es ja logisch, es geht ja hier um die Poissonverteilung.
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Hiho,
> > Aber die Anzahl der Studenten ist doch zufällig
> poisson-verteilt.... wie kannst du dann einfach ein fixes
> [mm]n\in\IN[/mm] wählen?
>
> Garnicht.
Doch, was ist denn die Anzahl der Stundenten? (*)
>
> Mmh gut vergessen wir die Binominalverteilung, ich dachte
> nur es würde passen, aber meine mathematischen
> Fähigkeiten lasse zu wünschen übrig:=)
Nichts, worauf man stolz sein sollte!
> Also ich bin ehrlich, ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Dein Ansatz war nicht verkehrt, nur du denkst deine Dinge nicht zuende.
Ich höre ja auch nicht mitten im Text auf zu schreiben...
Dein Ansatz ist nicht vekehrt. Kennt man die Anzahl an Studenten und ist diese n, so ist Z binomialverteilt zu den Parametern n und p.
Jetzt formuliere das mal zusammen mit (*) mathematisch sinnvoll…
Gruß,
Gono
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Ok ich habe nun ein paar Stunden versucht herauszufinden, wie ich deine Fragen interpretieren soll.
> Doch, was ist denn die Anzahl der Stundenten?
Laut Aufgabenstellung ist die Zufallsvariable X die Anzahl der Mediziner die die Sprechstunde besuchen.
Weiter ist nach der Aufgabenstellung Y die Anazahl der Studenten, die die Sprechstunde besuchen, aber keine Mediziner sind.
Somit muss die Anzahl der Studenten die eine Sprechstunde besuchen, die Summe aus X und Y sein.
Nun soll $Y+Y = n$ gelten. Wenn dies gilt, dann ist Z binomialverteilt zu den Parametern n und p.
Das Problem ist du hast Z als
> Sei Z die Anzahl der Studenten, die nun Medizin studieren
definiert, somit ist X = Z und hier komme ich nun nicht mehr weider.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 22.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Guten Morgen, ich glaube ich habe nun eine Lösung gefunden und hoffe Jemand kann mich da verbessern fals Sie falsch ist.
Lösung:
Da keine Student gleichzeitig X und Y zur Sprechstunde gehen kann sind X und Y [mm] disjunkt.$X\capY [/mm] ={}$ Also P(X [mm] \capY) [/mm] =0 für |X|+|Y| = n.
Da nach Hinweis 2 $ [mm] \mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k} p^{k}}{k !} [/mm] $ ist. Da [mm] $\lamda [/mm] >0$ und [mm] $p\in(0,1)$ [/mm] ist $P(Y=k)>0$ uns so $P(X=n-k)> 0$. Da [mm] P(Y\capY) \neq [/mm] P(X=k)P(X=n-k)$ ist, sind X,Y unabhängig.
Edit:
Irgendwie werden die Formeln nicht angezeigt, weil ich kopiert habe.
Also kurz noch einmal meine Idee:
Die Schnittmenge der Ereignismengen von X und Y ist leer. Denn es kann keinen Zuhörer in der Vorlesung geben, der beide Ergebnisse gleichzeitig erfüllt:
X : besucht die Vorlesung und ist Mediziner
Y : besucht die Vorlesung und ist kein Mediziner
Deshalb sind X und Y unabhängig.
Nur wie kann man das nun richtig mathematisch begründen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 23.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
könntest du bitte einmal die Hinweise erneuern, irgendwie werden diese verdeckt.
Ich bin mir jetzt selbst nicht 100% sicher, aber ist dieses Problem nicht leicht sichtbar?
X ist die Anzahl der Mediziner, die die Sprechstunde besuchen, die allerdings auch die Anatomie Vorlesung besuchen.
Und Y ist die Anzahl von nicht Medizinern, die die Sprechstunde besuchen, aber nicht die Vorlesung.
Somit folgt doch automatisch die Unabhängigkeit ?
Nun geht es nur noch darum dies mathematisch richtig auszudrücken.
Leider habe ich dafür selbst keine richtige Idee, könnte da vielleicht einer der erfahrenen Mathematiker hier weiterhelfen? ich finde die Aufgabe interessant und würde es gerne auch mal lösen.
Gruß
Susanne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 23.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Könnte mir bite Jemand helfen? Ich muss es morgen abgeben und ich komme nicht auf die Lösung, bzw die mathematische Lösung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 24.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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