Poisson's Rosinenbrötchen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe 1 | In einen Teig werden m Rosinen geknetet und dann n Brötchen geformt.
i) Machen sie die Annahme plausibel, dass die Anzahl der Rosinen in einem zufällig herausgegriffenen Brötchen Poisson verteilt ist. |
| Aufgabe 2 | | ii) Wieviel Rosinen muß man vorsehen, dass mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit dieses Brötchen mindestens eine Rosine enthält? |
ich versteh die Frage nicht wirklich. auf welche art kann ich plausibel machen, dass obiges poisson-verteilt ist, und bei der zweiten, geht es da auch um poisson ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 28.04.2006 | | Autor: | DirkG |
> auf welche art kann
> ich plausibel machen, dass obiges poisson-verteilt ist
Stimmt auch gar nicht: Tatsächlich ist diese Anzahl binomialverteilt. Es ist nur so, dass für große $n$ (und damit verbunden auch große $m$) diese Binomialverteilung approximativ einer Poissonverteilung entspricht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Speyer |
:) das ist ja schön und gut, leider weiß ich einfach nicht, was genau und vor allem _wie_ ich das zeigen soll...
es würde mir schon sehr helfen, wenn ich wüsste, wie ich am besten an diese aufgabe drangehe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Betrachten wir ein bestimmtes Brötchen und jede Rosine einzeln: Dann landet jede Rosine jeweils mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] in diesem Brötchen, und das unabhängig voneinander für die einzelnen Rosinen. So zumindest das vereinfachende Modell (in der Praxis stimmt das nicht, da Rosinen keine Punktmassen sind, sondern eine reale Ausdehnung haben, womit eine gegenseitige "Verdrängung" stattfindet. Aber wir wollen's hier nicht durch sowas verkomplizieren.  ).
Also gilt für die zufällige Anzahl $X$ der Rosinen in dem bewussten Brötchen die Verteilung [mm] $X\sim B\left( m, \frac{1}{n} \right)$.
[/mm]
Für [mm] $n\to \infty$ [/mm] bei gleichzeitigem [mm] $\frac{m}{n}\to \mu$ [/mm] gilt nun [mm] $B\left( m, \frac{1}{n} \right)\to \operatorname{Poisson}(\mu)$, [/mm] wobei dieses [mm] $\mu$ [/mm] die mittlere Rosinenanzahl pro Brötchen darstellt. Und das ist es wohl, was der Aufgabenhersteller im Sinn hat.
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