Poisson Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 20.10.2011 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Die Anzahl der Fehler eines Schaltkreises (Y) sei poissonverteilt mit Parameter [mm] \lambda. [/mm] Sei X die Anzahl Fehler in einem bestimmten Teilgebiet des Schaltkreises. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass sich jeder der insgesamt Y Fehler unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit p [mm] \in [/mm] (0, 1) in diesem Teilgebiet befindet.
a) Bestimme die Verteilung von X und Y - X.
b) Sind X und Y-X unabhängig voneinander? |
Guten Abend liebe Community,
diese Aufgabe macht mir schwer zu schaffen. Ich schreib mal, was ich weiß bzw. habe:
a) Verteilung von X können wir durch die Gewichtsfunktion von X bestimmen.
Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
[mm] P[X] = \summe_{n=0}^{\infinity}P[X=k| Y=n] P[Y=n] [/mm]
Auch klar ist, dass k [mm] \le [/mm] n sein muss, aber weiter weiß ich leider nicht.
Um genau zu sein, ich kann den Term: Gegeben, dass Y=n, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit P[X=k], nicht sinnvoll mathematisch ausdrücken.
b) Bedingung für Unabhängigkeit ist bekannt, aber ohne die Ergebnisse von a) werde ich das wohl nicht überprüfen können.
Vielen Dank für jede Hilfe
Kato
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Do 20.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Gegeben, dass Y=n, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit P[X=k], nicht sinnvoll mathematisch ausdrücken.
Für jeden der n Fehler führen wir ein Bernoulli-Experiment (iid) durch, ob er in dem relevanten Bereich liegt.
X ist die Summe dieser n Bernoulli-Experimente, und die ist wie verteilt?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 20.10.2011 | | Autor: | Kato |
Hallo Stefan,
danke, für deine Hilfe.
> Für jeden der n Fehler führen wir ein
> Bernoulli-Experiment (iid) durch, ob er in dem relevanten
> Bereich liegt.
>
> X ist die Summe dieser n Bernoulli-Experimente, und die ist
> wie verteilt?
Na ja, dass ist die Binomialverteilung. Damit erhalte ich:
$ P[X] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}P[X=k| [/mm] Y=n] P[Y=n] $
$ P[X] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} e^{-\lambda}\bruch{\lambda^n}{n!} [/mm] $
Allerdings sollte man laut Assistent am Ende raus kriegen, dass X poissonverteilt ist mit [mm] P(\lambda*p). [/mm] Deswegen denke ich, dass meine Ansatz falsch ist, da ich spontan keinen Weg sehe, z.B. dass [mm] e^{-\lambda} [/mm] wegzubekommen.
Liebe Grüße
Kato
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 20.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Allerdings sollte man laut Assistent am Ende raus kriegen, dass X poissonverteilt ist mit $ [mm] P(\lambda\cdot{}p). [/mm] $ Deswegen denke ich, dass meine Ansatz falsch ist, da ich spontan keinen Weg sehe, z.B. dass $ [mm] e^{-\lambda} [/mm] $ wegzubekommen.
Gibst Du immer so schnell auf? =)
Und ja, der Assi hat recht.
> $ P[X=k] = [mm] \summe_{n=k}^{\infty}{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} e^{-\lambda}\bruch{\lambda^n}{n!} [/mm] $
Die untere Grenze sollte n=k sein. So ist es zwar technisch richtig (weil [mm] ${n\choose k}=0$ [/mm] für $k>n$ nach Definition), aber unhübsch.
|
|
|
|
