Poisson Klammer < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Di 25.05.2010 | | Autor: | flare |
Schönen guten Abend.
Eine kurze Ergebnis/Verständniskontrolle wäre voll lieb von einem von euch.
Aufgabe: f (q,p,t) und H Integrale der Bewegung, zeige, dass auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial t} [/mm] eine ist.
Lösung:
[mm] \bruch{df}{dt}=[f,H]+\bruch{\partial f}{\partial t}=0
[/mm]
[mm] =>[f,H]=-\bruch{\partial f}{\partial t}
[/mm]
[mm] \bruch{dH}{dt}=[H,H]+\bruch{\partial H}{\partial t}=0
[/mm]
[mm] =>\bruch{\partial H}{\partial t}=0
[/mm]
Jetzt kommt die Frage, kann ich das [mm] \bruch{\partial }{\partial t} [/mm] als Faktor eines Produktes ansehen und die Produktregel der Poisonklammer anwenden?
[mm] [\bruch{\partial f}{\partial t},H]=\bruch{\partial }{\partial t}[f,H]-[f,\bruch{\partial H}{\partial t}]- \bruch{\partial ^2 f}{\partial t}
[/mm]
das erfüllt, da der zweite Summand 0 und der erste + [mm] \bruch{\partial ^2 f}{\partial t}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mi 26.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Schönen guten Abend.
>
> Eine kurze Ergebnis/Verständniskontrolle wäre voll lieb
> von einem von euch.
>
> Aufgabe: f (q,p,t) und H Integrale der Bewegung, zeige,
> dass auch [mm]\bruch{\partial f}{\partial t}[/mm] eine ist.
>
> Lösung:
>
> [mm]\bruch{df}{dt}=[f,H]+\bruch{\partial f}{\partial t}=0[/mm]
>
> [mm]=>[f,H]=-\bruch{\partial f}{\partial t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dH}{dt}=[H,H]+\bruch{\partial H}{\partial t}=0[/mm]
>
> [mm]=>\bruch{\partial H}{\partial t}=0[/mm]
>
> Jetzt kommt die Frage, kann ich das [mm]\bruch{\partial }{\partial t}[/mm]
> als Faktor eines Produktes ansehen und die Produktregel der
> Poisonklammer anwenden?
Was ist die PRoduktregel der Poissonklammer?
> [mm][\bruch{\partial f}{\partial t},H]=\bruch{\partial }{\partial t}[f,H]-[f,\bruch{\partial H}{\partial t}]- \bruch{\partial ^2 f}{\partial t}[/mm]
Das ist falsch. Per Definition der Poissonklammer und Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen ist für alle f,g:
[mm] \bruch{\partial }{\partial t}[f,g] = [\bruch{\partial f}{\partial t},g] + [f,\bruch{\partial g}{\partial t}] [/mm]
Daher ist
[mm] \bruch{d}{dt} [f,H] = \bruch{\partial }{\partial t}[f,H] + [[f,H],H] = [\bruch{\partial f}{\partial t},H] + [f,\bruch{\partial H}{\partial t}] + [[f,H],H] = -[[f,H],H] + [[f,H],H] [/mm]
Aber warum so kompliziert? Die Poissonklammer zweier Erhaltungsgrößen ist eine Erhaltungsgröße.
Wenn f und H Erhaltungsgrößen sind, dann auch $[f,H]$.
Viele Grüße
Rainer
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