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Poisson Approx.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 So 09.11.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

Aufgabe
eine glühbirne ist nach der produktion zu 1.5% defekt (0.015). wieviele birnen müss man auswählen, um mit einer wahrscheinlichkeit von mehr als 0.8, sagen zu können das 100 birnen von den ausgewählten funktionieren.

so finde aufgabe sieht einfach aus, hat aber ihre tücken.

=> [mm] \vektor{n \\ 100}*(0.985)^{100}(0.015)^{n-100}\ge0.8 [/mm]

heisst ich wähle aus n birnen 100, wobei eine zu 98.5% funktioniert, sodass die 100 zu 80% funktionieren sollen.
da ich auch ohne zurücklegen ziehe, denke ich das die binomialerteilung der richtige ansatz ist.

liefert mir die poisson approx.:

[mm] e^{-0.985n}*\bruch{(0.985n)^(100)}{100!}\ge0.8 [/mm]

diesen therm kann man allerdings nicht analytisch lösen, daher denke ich das mein ansatz falsch sein könnte, oder?

        
Bezug
Poisson Approx.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 09.11.2008
Autor: luis52

Moin,

Da schau her.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Poisson Approx.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 So 09.11.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

ich muss da nochmal nachhaken

ges [mm] P(X\ge100)\ge0.8=1-P(X<100)\ge0.8 [/mm]

[mm] 1-((P(x=1)+P(x=2)+...+P(X=99))\ge0.8 [/mm]

[mm] 1-(\vektor{n \\ 1}*(0.985)^{1}*(0.015)^{n-1}+\vektor{n \\ 2}*(0.985)^2...) [/mm]

[mm] 1-(e^{-0.985n}*(\bruch{(0.985n)^{1}}{1!}+\bruch{(0.985n)^{2}}{2!}+...+\bruch{(0.985n)^{99}}{99!}) [/mm]

[mm] 1-e^{-0.985n}*\summe_{n=1}^{99}\bruch{(0.985n)^{k}}{k!} [/mm]

und was mach ich jetzt?


Bezug
                        
Bezug
Poisson Approx.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 So 09.11.2008
Autor: luis52

Moin  Arvi-Aussm-Wald,

beachte, dass X binomialverteilt ist mit n und $p=0.985$. Gesucht ist
[mm] $n\ge100$ [/mm] mit



[mm] \begin{matrix} P(X\ge100) &=&P(X=100)+\dots+P(X=n) \\ &=&\dbinom{n}{100}0.985^{100}0.015^{n-100}+\dots+\dbinom{n}{100}0.985^{n}0.015^0 \\ &\approx&\dfrac{(0.985n)^{100}}{100!}+\dots+\dfrac{(0.985n)^{n}}{n!}\\ &\ge&0.8 \end{matrix} [/mm]



Stimmt, du hast Recht, das ist sehr unschoen. Man kann ein
Statistikprogramm heranziehen und findet $n=102$.
Du kannst aber auch die Approximation der Binomial- durch die
Normalverteilung benutzen:

[mm] $P(X\ge100)=1-P(X\le99)\approx1-\Phi\left(\dfrac{99+0.5-0.985n}{\sqrt{0.015\times0.985n}}\right)$ [/mm]


vg Luis

PS: Sorry, mein Hinweis oben war nicht sehr hilfreich.



Bezug
                                
Bezug
Poisson Approx.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 So 09.11.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

super danke

Bezug
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