PoissonVerteilung,Zufallsgröße < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:16 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Foxy333 |
| Aufgabe | X ist die Zufallsgröße und besitzt die Poisson-Verteilung mit folgender Zähldichte:
[mm] p_{X}(k)=\bruch{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}
[/mm]
i) Beweisen Sie:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}p_{X}(k)=1
[/mm]
und bestimme Wahrscheinlichkeitsverteiltung und Verteilungsfunktion von X mit [mm] p_{x}
[/mm]
ii) Beweisen sie, dass [mm] p_{X} [/mm] eine Dichte der Verteilung [mm] P^{X} [/mm] von X bezüglich dieseMaßes :
[mm] \mu(B)=\summe_{k \in \IN_{0}}^{}1_{B}(k) [/mm] , B [mm] \in \mathcal{P}_{\IN_{0}} [/mm] |
Hallo
ich kann diese Aufgabe irgendwie nicht lösen und frage deshalb im Forum nach. Jedoch habe ich auch paar Ansätze zu dieser Aufgabe:
Ene Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung(wieso kein Wahrscheinlichkeitsmaß oder ist das das gleiche?), mit der man Wahrscheinlichkeiten zu folgender Problematik berechnen kann:
Falls das Mittel einer Anzahl an eintretenden voneinander unabhängigen Ereignissen eines bestimmten Intervalls bekannt ist, lässt sich durch die Poission-Verteiltung die Wahrscheinlichkeit von k eintretenden Ereignissen innerhalb eines Intervalls bestimmen.
In einem Beispiel: Im Fahrstuhl steigen pro Fahrt im Mittel 10 Personen ein.
Mit der Poission-Verteilung könnte man berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass genau k Personen den Fahrstuhl bei einer Fahrt zusammen benutzen.
Stimmt das?
Jetzt zur Aufgabe i)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}p_{X}(k)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\lambda{k}}{k!}= e^{-\lambda}e^{\lambda}=1
[/mm]
Was is aber eine Wahrscheinlichkeitsverteilung? Ich würde sagen, dass [mm] p_{X}(k) [/mm] die Wk-Verteilung ist, die bestimmt, wie groß die Wk für genau k Ergebnisse.
Die Verteilungsfunktion wäre dann sowas wie:
[mm] p_{X}(k<=j)=\summe_{k=0}^{j}p_{X}(k)=\summe_{k=0}^{j}\bruch{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}
[/mm]
zu Aufgabenteil ii)
Ich weiß nicht genau, was da gesucht wird.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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