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Guten Tag alles zusammen,
ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht so wirklich voran.
Als erstes mal die Aufgabestellung:
Wir betrachten die Anzahl von Kindern in einer Famlie als Poisson(lamda)-verteilt.
Weiterhin nehem wir an, dass jedes Kind mit gleicher Wahrscheinlichtkeit ein Junge oder ein Mädchen sein kann.
Seien nun die Zufallsvariablen X Anzahl der Mädchen und Y Anzahl der Jungen.
Jetzt kommen zwei Aufgaben:
i) Bestimme die Verteilung und den Erwartungswert von X
ii) Bestimme die gemeinsame Verteiltung von X und Y. Sie die Zufallsvariablen unabhängig?
Mein Problem ist nun das ich die Verteilung von X und daher natürlich auch für Y nicht hinbekomme.
Ich weiß das ich mich im Rahmen der mehrdimensionalen Verteilung genauer der gemeinsamen Verteilung bewege.
Wie kann ich die Information einer Poissonverteilung und einer Bernoulliverteilung mit p=0,5 miteinander verwursten?
Wenn ich die beiden Verteilungen habe kann ich ja ohne probleme die Faltungsformel anwenden da X und Y offensichtlich unabhängig sind da die Anzahl der Mädchen ja unabhängig von der Anzahl der Jungen sein muss aber wie finde ich die einzelne Verteilung für X bzw. Y?
Bitte um Hilfe danke schön
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> Guten Tag alles zusammen,
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> ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht so
> wirklich voran.
> Als erstes mal die Aufgabestellung:
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> Wir betrachten die Anzahl von Kindern in einer Famlie als
> Poisson(lamda)-verteilt.
> Weiterhin nehem wir an, dass jedes Kind mit gleicher
> Wahrscheinlichtkeit ein Junge oder ein Mädchen sein kann.
> Seien nun die Zufallsvariablen X Anzahl der Mädchen und Y
> Anzahl der Jungen.
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> Jetzt kommen zwei Aufgaben:
> i) Bestimme die Verteilung und den Erwartungswert von X
> ii) Bestimme die gemeinsame Verteiltung von X und Y. Sie
> die Zufallsvariablen unabhängig?
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> Mein Problem ist nun das ich die Verteilung von X und daher
> natürlich auch für Y nicht hinbekomme.
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> Ich weiß das ich mich im Rahmen der mehrdimensionalen
> Verteilung genauer der gemeinsamen Verteilung bewege.
> Wie kann ich die Information einer Poissonverteilung und
> einer Bernoulliverteilung mit p=0,5 miteinander verwursten?
> Wenn ich die beiden Verteilungen habe kann ich ja ohne
> probleme die Faltungsformel anwenden da X und Y
> offensichtlich unabhängig sind da die Anzahl der Mädchen ja
> unabhängig von der Anzahl der Jungen sein muss aber wie
> finde ich die einzelne Verteilung für X bzw. Y?
Also Dein Verdacht ist, dass $X$ und $Y$ unabhängig und gleich verteilt sind. Da ihre Summe eine Poissonverteilung mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] ist, würde man doch ebenfalls vermuten, dass $X$ und $Y$ beide mit Parameter [mm] $\lambda/2$ [/mm] poissonverteilt sind: denn die Summe unabhängiger, mit Parametern [mm] $\lambda_{1,2}$ [/mm] poissonverteilter Z'variabler ist poissonverteilt mit Parameter [mm] $\lambda_1+\lambda_2$. [/mm]
Mit einer solchen Vermutung ausgerüstet, lässt sich leichter ein Weg finden. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass $X=k$ unter der Bedingung, dass $X+Y=n$, ist doch
[mm]\mathrm{P}(X=k\,\mid\,X+Y=n)=\binom{n}{k}\cdot 2^{-n}[/mm]
und daher ist
[mm]\mathrm{P}(X=k)=\sum\limits_{n=k}^\infty \mathrm{P}(X=k\,\mid\, X+Y=n)\cdot P(X+Y=n)=\sum\imits_{n=k}^\infty \binom{n}{k}\cdot 2^{-n}\cdot\frac{\lambda^n}{n!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}[/mm]
Es stellt sich also die Frage, ob diese letztere Summe tatsächlich gleich [mm] $\frac{(\lambda/2)^k}{k!}\cdot\mathrm{e}^{-\lambda/2}$ [/mm] ist, was, falls die obige Vermutung über die Verteilung von $X$ zutreffen sollte, gelten müsste. Lässt sich dies zeigen, dann ist der Erwartungswert von $X$ gleich [mm] $\lambda/2$, [/mm] wie es sich für eine mit Parameter [mm] $\lambda/2$ [/mm] poissonverteilte Z'variable gehört.
Verteilung und Erwartungswert von $Y$ sind natürlich, aus Symmetriegründen, dieselben wie für $X$.
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> Guten Tag alles zusammen,
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> ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht so
> wirklich voran.
> Als erstes mal die Aufgabestellung:
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> Wir betrachten die Anzahl von Kindern in einer Famlie als
> Poisson(lamda)-verteilt.
> Weiterhin nehem wir an, dass jedes Kind mit gleicher
> Wahrscheinlichtkeit ein Junge oder ein Mädchen sein kann.
> Seien nun die Zufallsvariablen X Anzahl der Mädchen und Y
> Anzahl der Jungen.
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> Jetzt kommen zwei Aufgaben:
> i) Bestimme die Verteilung und den Erwartungswert von X
> ii) Bestimme die gemeinsame Verteiltung von X und Y. Sie
> die Zufallsvariablen unabhängig?
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> Mein Problem ist nun das ich die Verteilung von X und daher
> natürlich auch für Y nicht hinbekomme.
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> Ich weiß das ich mich im Rahmen der mehrdimensionalen
> Verteilung genauer der gemeinsamen Verteilung bewege.
> Wie kann ich die Information einer Poissonverteilung und
> einer Bernoulliverteilung mit p=0,5 miteinander verwursten?
> Wenn ich die beiden Verteilungen habe kann ich ja ohne
> probleme die Faltungsformel anwenden da X und Y
> offensichtlich unabhängig sind da die Anzahl der Mädchen ja
> unabhängig von der Anzahl der Jungen sein muss aber wie
> finde ich die einzelne Verteilung für X bzw. Y?
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Die Wahrscheinlichkeiten [mm] $\mathrm{P}(X=m), \mathrm{P}(Y=n)$ [/mm] kennst Du aufgrund der Lösung von Teilaufgabe i)
Die gemeinsame Verteilung von $X$ und $Y$ ergibt sich aus den Wahrscheinlichkeiten [mm] $\mathrm{P}(X=m,Y=n)=\mathrm{P}(X=m\,\mid\,X+Y=m+n)\cdot\mathrm{P}(X+Y=m+n)$. [/mm] Dies müsste man auf eine explizite Form bringen (Term mit den Variablen $m,n$ und [mm] $\lambda$).
[/mm]
Unabhängigkeit von $X$ und $Y$ liegt genau dann vor, wenn für alle [mm] $m,n\in \IN_0$ [/mm] gilt: [mm] $\mathrm{P}(X=m,Y=n)=\mathrm{P}(X=m)\cdot\mathrm{P}(Y=n)$. [/mm] Ob dies wirklich gilt, musst Du prüfen, denn dass $X$ und $Y$ unabhängig seien, haben wir bei der Lösung von Teilaufgabe i) lediglich zwecks Aufstellen einer Hypothese für die Verteilung von $X$ bzw. $Y$ vermutet.
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