Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 17.02.2014 | | Autor: | animal21 |
| Aufgabe | Während der Arbeit einer computergesteuerten Anlage treten in zufälligen Zeitpunkten Ausfälle ein. Die Anzahl der AUsfälle das als poissenverteilt angenommen werden. Die mittlere Anzahl der Ausfälle pro Woche (5Tage) ist 3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
a) Pro Tag tritt höchstens ein Ausfall ein.
b) Pro Tag tritt mindestens ein Ausfall ein.
c) In 3 Tagen treten höchstens 3 Ausfälle ein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wenn ich das richtig sehe ist EX = 3 mit X=Anzahl der Ausfälle pro Woche.
Damit ist [mm] \lambda [/mm] = n * p = 1 * 3(5) für einen Tag, richtig?
Und die POISSEN-Verteilung ist: P(x=k) = [mm] e^-\lambda [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}
[/mm]
Also ist
a) [mm] p_a(k<=1) [/mm] = e^(-0.6) * [mm] \summe_{k=0}^{1} [/mm] = e^(-0,6) * (1 + 0.6) = 0,878
b) [mm] p_b(k>=1) [/mm] = e^(-0,6) * [mm] \summe_{k=1}^{3} [/mm] = e^(-0,6) * (0,6/1 + [mm] 0,6^2 [/mm] / 2 + [mm] 0,6^3 [/mm] / 6) = 0,4478
korrekt?
mein Problem ist nun c) In 3 Tagen treten höchstens 3 Ausfälle ein.
Muss ich dann [mm] \lampda [/mm] neu berechnen mit [mm] \lampda [/mm] = n * p = 3 * 3/5?
Und mit [mm] p_c(k<=3)?
[/mm]
grüße
ani
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Zunächst mal eine Information zur Schreibweise: das heißt ![[]](/images/popup.gif) Poisson-Verteilung, einige wichtige Fakten dazu findest du auf der verlinkten Wikipedia-Seite.
> Während der Arbeit einer computergesteuerten Anlage treten
> in zufälligen Zeitpunkten Ausfälle ein. Die Anzahl der
> AUsfälle das als poissenverteilt angenommen werden. Die
> mittlere Anzahl der Ausfälle pro Woche (5Tage) ist 3.
> Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
>
> a) Pro Tag tritt höchstens ein Ausfall ein.
> b) Pro Tag tritt mindestens ein Ausfall ein.
> c) In 3 Tagen treten höchstens 3 Ausfälle ein.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Hallo,
>
> wenn ich das richtig sehe ist EX = 3 mit X=Anzahl der
> Ausfälle pro Woche.
> Damit ist [mm]\lambda[/mm] = n * p = 1 * 3(5) für einen Tag,
> richtig?
Deine Herleitung ist mir nicht ganz geheuer, wenn das aber E(X)=3/5 heißen soll, dann ist es richtig.
> Und die POISSEN-Verteilung ist: P(x=k) = [mm]e^-\lambda[/mm] *
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm]
>
Was soll das Summenzeichen bedeuten?
> Also ist
> a) [mm]p_a(k<=1)[/mm] = e^(-0.6) * [mm]\summe_{k=0}^{1}[/mm] = e^(-0,6) * (1
> + 0.6) = 0,878
Das scheint zu stimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]p_b(k>=1)[/mm] = e^(-0,6) * [mm]\summe_{k=1}^{3}[/mm] = e^(-0,6) *
> (0,6/1 + [mm]0,6^2[/mm] / 2 + [mm]0,6^3[/mm] / 6) = 0,4478
>
> korrekt?
Nein, hier muss man über das Gegenereignis gehen, also
[mm] P(X\ge{1})=1-P(X<1)=1-P(X=0)
[/mm]
>
> mein Problem ist nun c) In 3 Tagen treten höchstens 3
> Ausfälle ein.
>
> Muss ich dann [mm]\lampda[/mm] neu berechnen mit [mm]\lampda[/mm] = n * p = 3
> * 3/5?
> Und mit [mm]p_c(k<=3)?[/mm]
>
Ja das ist wohl so gedacht, so wie die Aufgabe formuliert ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 17.02.2014 | | Autor: | animal21 |
Hmm, komm mit den Commands hier noch nicht ganz zurecht anscheint: ) da fehlen einigen Sachen...
OK
zu b) [mm] p_b(k>=1) [/mm] = 1 - p(k<1) = 1 - [mm] e^{-0.6} [/mm] * [mm] 0.6^{0}/1 [/mm] = 0.451
zu c)
n = 3
p = 3/5
[mm] \lambda [/mm] = n * p = 1.8
[mm] p_c(k<=3) [/mm] = [mm] e^{-1.8} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{3}(1.8^{k} [/mm] / k!) = [mm] e^{-1.8} [/mm] * ( 1 + 1.8/1 + [mm] 1.8^2 [/mm] / 2 + [mm] 1.8^3 [/mm] / 6 ) = 0.891
grüße
ani
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Hallo,
> Hmm, komm mit den Commands hier noch nicht ganz zurecht
> anscheint: ) da fehlen einigen Sachen...
das ist halt TeX pur hier sozusagen...
>
> OK
> zu b) [mm]p_b(k>=1)[/mm] = 1 - p(k<1) = 1 - [mm]e^{-0.6}[/mm] * [mm]0.6^{0}/1[/mm] =
> 0.451
Ansatz ist richtig, Ergebnis jedoch falsch. Rechne nochmal nach.
>
> zu c)
> n = 3
> p = 3/5
> [mm]\lambda[/mm] = n * p = 1.8
Ja, das passt soweit.
> [mm]p_c(k<=3)[/mm] = [mm]e^{-1.8}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{3}(1.8^{k}[/mm] / k!) =
> [mm]e^{-1.8}[/mm] * ( 1 + 1.8/1 + [mm]1.8^2[/mm] / 2 + [mm]1.8^3[/mm] / 6 ) = 0.891
>
Das ist richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 17.02.2014 | | Autor: | animal21 |
Dann stehe ich irgendwie auf dem schlauch:
p(k=0) = [mm] e^{-0.6} [/mm] * [mm] 0.6^{0} [/mm] / 0! = [mm] e^{-0.6} [/mm] * 1 = 0.5488
p(k>=1) = 1- p(k=0) = 1 - 0.5488 = 0.4511.
Oder nicht?!
Danke dir schon einmal für die Hilfe.
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Hallo,
> Dann stehe ich irgendwie auf dem schlauch:
nein: der auf dem Schlauch bin ich. 
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> p(k=0) = [mm]e^{-0.6}[/mm] * [mm]0.6^{0}[/mm] / 0! = [mm]e^{-0.6}[/mm] * 1 = 0.5488
> p(k>=1) = 1- p(k=0) = 1 - 0.5488 = 0.4511.
>
> Oder nicht?!
Doch, völlig richtig. Ich hatte mich auf dem TR vertippt, sorry.
Gruß, Diophant
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