Picard Lindelöf, Unterschied < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 24.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir notieren, die Lösung das Anfangswertproblem x'=f(t,x), [mm] x(t_0)=x_0 [/mm] mit [mm] \phi(t,t_0,x_0)
[/mm]
Theorem:
Sei f [mm] \in [/mm] C(U, [mm] \mathbb{R}^n) [/mm] eine lokal lipschitz stetige Funktion im zweiten Argument, gleichmäßig bezüglich des ersten Arguments. Um den Punkt [mm] (t_0,x_0) \in [/mm] U können wir eine kompakte Menge I [mm] \times [/mm] B [mm] \subset [/mm] U finden sodass [mm] \phi(t,s,x) \in [/mm] C(I [mm] \times [/mm] I [mm] \times [/mm] B, [mm] \mathbb{R}^n) [/mm] |
Meine Frage:
Was unterscheidet den Satz zum Satz von Picard Lindelöf?
Picard-Lindelöf sagt dass wir eine kompakte Menge [mm] V=[t_0, t_0 +T]\times \overline{B_{\delta} (x_0)} \subset [/mm] U finden können dass für wenigstens t [mm] \in [t_0, t_0 [/mm] + [mm] T_0] [/mm] eine Lösung x(t) [mm] \in C^1(I) [/mm] existiert die in [mm] \overline{B_{\delta}(x_0)} [/mm] bleibt. Das analoge Resultat für das Intervall [mm] [t_0-T,t_0]
[/mm]
D.h. wir können eine kompakte Menge [mm] V=[t_0 [/mm] - [mm] \epsilon, t_0 [/mm] + [mm] \epsilon] \times \overline{B_{\delta} (x_0)} \subset [/mm] U sodass [mm] \phi(t,t_0,x_0) [/mm] existiert für [mm] |t-t_0| \le \epsilon.
[/mm]
Kann mir wer den Unterschied erläutern? Ich möchte das obige Theorem nämlich mit Picard Lindelöf zeigen.
Lg,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 24.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir notieren, die Lösung das Anfangswertproblem x'=f(t,x),
> [mm]x(t_0)=x_0[/mm] mit [mm]\phi(t,t_0,x_0)[/mm]
> Theorem:
> Sei f [mm]\in[/mm] C(U, [mm]\mathbb{R}^n)[/mm] eine lokal lipschitz stetige
> Funktion im zweiten Argument, gleichmäßig bezüglich des
> ersten Arguments. Um den Punkt [mm](t_0,x_0) \in[/mm] U können wir
> eine kompakte Menge I [mm]\times[/mm] B [mm]\subset[/mm] U finden sodass
> [mm]\phi(t,s,x) \in[/mm] C(I [mm]\times[/mm] I [mm]\times[/mm] B, [mm]\mathbb{R}^n)[/mm]
>
> Meine Frage:
> Was unterscheidet den Satz zum Satz von Picard Lindelöf?
das ist ein Satz über die stetige Abhängigkeit vom Anfangswertproblems
fred
> Picard-Lindelöf sagt dass wir eine kompakte Menge [mm]V=[t_0, t_0 +T]\times \overline{B_{\delta} (x_0)} \subset[/mm]
> U finden können dass für wenigstens t [mm]\in [t_0, t_0[/mm] +
> [mm]T_0][/mm] eine Lösung x(t) [mm]\in C^1(I)[/mm] existiert die in
> [mm]\overline{B_{\delta}(x_0)}[/mm] bleibt. Das analoge Resultat
> für das Intervall [mm][t_0-T,t_0][/mm]
> D.h. wir können eine kompakte Menge [mm]V=[t_0[/mm] - [mm]\epsilon, t_0[/mm]
> + [mm]\epsilon] \times \overline{B_{\delta} (x_0)} \subset[/mm] U
> sodass [mm]\phi(t,t_0,x_0)[/mm] existiert für [mm]|t-t_0| \le \epsilon.[/mm]
>
> Kann mir wer den Unterschied erläutern? Ich möchte das
> obige Theorem nämlich mit Picard Lindelöf zeigen.
>
> Lg,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 24.04.2016 | | Autor: | sissile |
> > Meine Frage:
> > Was unterscheidet den Satz zum Satz von Picard
> Lindelöf?
>
>
> das ist ein Satz über die stetige Abhängigkeit vom
> Anfangswertproblems
>
> fred
Hallo fred,
Dass [mm] \phi [/mm] stetig vom Anfangswert abhängt haben wir schon gezeigt: [mm] |\phi(t,t_0,x_0)-\phi(t,t_0,y_0)| \le |x_0-y_0| e^{L |t-t_0|}
[/mm]
wenn du das meinst?
Aber hier geht es doch um die Existenz der Lösung in einer kompakten Menge wie bei Picard Lindelöf? Ich wüsste nicht was ich für den Beweis des Satzes im Anfangsthread mehr zeigen müsste?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 25.04.2016 | | Autor: | sissile |
Bin noch sehr an einer Antwort interessiert.
Kann man die Frage um paar tage verlängern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Meine Frage:
> > > Was unterscheidet den Satz zum Satz von Picard
> > Lindelöf?
> >
> >
> > das ist ein Satz über die stetige Abhängigkeit vom
> > Anfangswertproblems
> >
> > fred
> Hallo fred,
> Dass [mm]\phi[/mm] stetig vom Anfangswert abhängt haben wir schon
> gezeigt: [mm]|\phi(t,t_0,x_0)-\phi(t,t_0,y_0)| \le |x_0-y_0| e^{L |t-t_0|}[/mm]
>
> wenn du das meinst?
Nicht nur das, sondern auch noch die Stetigkeit von [mm] \phi [/mm] in der 2. Var.
>
> Aber hier geht es doch um die Existenz der Lösung in einer
> kompakten Menge wie bei Picard Lindelöf?
Nein. Wie kommst Du darauf ?
FRED
Ich wüsste nicht
> was ich für den Beweis des Satzes im Anfangsthread mehr
> zeigen müsste?
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:55 So 08.05.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Könnten Sie mir für die Aussage:
"Sei f $ [mm] \in [/mm] $ C(U, $ [mm] \mathbb{R}^n) [/mm] $ eine lokal lipschitz stetige Funktion im zweiten Argument, gleichmäßig bezüglich des ersten Arguments. Um den Punkt $ [mm] (t_0,x_0) \in [/mm] $ U können wir eine kompakte Menge I $ [mm] \times [/mm] $ B $ [mm] \subset [/mm] $ U finden sodass $ [mm] \phi(t,s,x) \in [/mm] $ C(I $ [mm] \times [/mm] $ I $ [mm] \times [/mm] $ B, $ [mm] \mathbb{R}^n) [/mm] $"
vlt. einen Beweis erklären? In meinen SKript steht nur, dass dies aus dem Satz von Picard Lindelöf folgt. Ich meine damit nicht die Lipschitzstetigkeit in den einzelnen Argumenten. DIese wird bewiesen, ich meine nur die Existenz von I und B sodass die Abbildung existiert.
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf S.44 intern beim scrollen S.54 ganz unten.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 10.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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