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Hallo zusammen.
Könnte mir jemand denn Sinn des Satzes Picard Lindelöf erklären? Wofür ist er und was sagt er aus?
Wird er nur für DGL-Systeme oder auch für DGL verwendet?
Und was hat es mit der Picard Iteration aufsich?
Beste Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 13.06.2011 | | Autor: | max3000 |
Dieser Satz basiert auf dem Banachschen Fixpunktsatz. Wenn du dir den Beweis von Picard-Lindelöff mal anschaust wirst du sehen, dass da eine Bedingung verwendet wird, mit der die Fixpunktoperator der DGL kontrahierend ist. Also sind die daraus resultierenden Aussagen zunächst Existenz einer Lösung und Konvergenz der durch die Fixpunkt-Iteration (die du Picard-Iteration nennst) erzeugten Folge gegen die Lösung der DGL.
Ob DGL oder System ist dabei völlig egal, solange der dahinterliegende Funktionenraum ein Banachraum ist. In der Regel sind die Lösungen von Differentialgleichungen ja aus dem
[mm] (C^n(I))^m,
[/mm]
also die n-mal stetig differenzierbaren Funktionen und für den Fall eines Systems eine vektorwertige Funktion mit m Komponenten. Ob da m=1 oder m>1 ist spielt dabei keine Rolle.
Ich hoffe ich konnte dir etwas Klarheit verschaffen.
Beste Grüße
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Mo 13.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen.
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> Könnte mir jemand denn Sinn des Satzes Picard Lindelöf
> erklären? Wofür ist er und was sagt er aus?
Er sagt aus, dass unter gewissen Vor. an eine Funktion f, das Anfangswertproblem
$y'=f(x,y)$, [mm] $y(x_0)=y_0$
[/mm]
genau eine Lösung [mm] y_l [/mm] hat.
> Wird er nur für DGL-Systeme oder auch für DGL
> verwendet?
Für beides.
> Und was hat es mit der Picard Iteration aufsich?
Diese konvergieren gegen die Lösung [mm] y_l
[/mm]
FRED
>
> Beste Grüsse
> Babybel
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Hallo
Okay, die Theorie hinter dem Satz habe ich nun mehr oder weniger verstanden. Aber jetzt mal ein Beispiel:
Die DGL für x(t)
[mm] x'=t^{4}*x*(ln(x))^{2}
[/mm]
ist definiert für [mm] t\in\IR [/mm] und x(t)>0
a) Bestimme alle Lösungen mit Anfangswert x(0)=1
b) Bestimme die lösungen mit Anfangswert [mm] x(0)\not=1. [/mm] Gib ihre maximalen Existenzintervalle an.
Lösung:
1) z.z. f(t,x) ist stetig in (t,x)
[mm] f(t,x)=t^{4}*x*(ln(x))^{2} [/mm] ist eine Komposition aus stetigen
Funktionen [mm] \Rightarrow [/mm] f(t,x) ist in (t,x) stetig.
2) z.z. f(t,x) ist lipschitzstetig in x, d.h.
|f(t,x)-f(t,y)| [mm] \le [/mm] L * |x-y| für alle x,y
|f(t,x)-f(t,y)| = [mm] |t^{4}*x*(ln(x))^{2}-t^{4}*y*(ln(y))^{2}| [/mm] < [mm] t^{4} [/mm] * [mm] (x^{2}-y^{2}
[/mm]
UND JETZT?
Stimmt es, dass ein hinreichendes Kriterium, dass f lokal lipschitzstetig ist, ist, dass f bzgl. y stetig partiell diffbar ist, d.h. es muss gelten
f'(t,x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(t,x+h)-f(t,x)}{h}
[/mm]
Via d'Hopital folgt, dass die obige Gleichung richtig ist, folgt nun dass f in y lipschitzstetig ist?
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine eindeutig bestimme Lösung.
Wie sieht sie aus?
Lösen der DGL: [mm] x'=t^{4}*x*(ln(x))
[/mm]
Durch Separation der Variabeln:
[mm] \Rightarrow x(t)=C*e^{-5/t^5}
[/mm]
Und jetzt? Ich kann ja für t nicht 0 einsetzen, da man durch 0 nicht teilen darf.
b) Hier habe ich leider auch keine Ahnung wie ich vorgehen soll....bitte um Hilfe...
Liebe Grüsse
Babybel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo?
Bitte um Hilfe, bei obiger Aufgabe!! :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Babybel,
wenn ich das richtig sehe, hat sich bei der Separierung der Variablen ein Fehler eingeschichen. Ich habe da nach einer Trennung stehen:
[mm] \int \bruch{1}{x \ln (x)} \, dx = \int t^4 \, dt [/mm]
oder dann einen Schritt weiter
[mm] \ln \ln (x) = \bruch{t^5}{5} [/mm] Und damit bekommt Du die Exponentialfunktion in die Potenz der Exponentialfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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