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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 29.01.2012 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe 1 | Besitzt das Anfangswertproblem
[mm] y=y'+e^y'
[/mm]
eine eindeutige Lösung?
Hinweis: Lässt sich die Dgl umformen in y'=g(y)? |
| Aufgabe 2 | Berechnen sie ausgehend von [mm] y_0(x)=0 [/mm] die ersten drei Picard-Interaktionen für
[mm] y'=x^2+xy^2 [/mm] y(0)=0
Wieso konvergiert im Intervall [-1/2,1/2] das Verfahren? |
| Aufgabe 3 | Führen sie für das Anfangswertproblem
[mm] x'=(-x_1*x_2, x_2*x_3, [/mm] 2) mit [mm] x(0)=\pmat{1, 1, 0}
[/mm]
Der Picard Iterationen durch? Konvergiert die Iteration? |
Hallo Forum,
ich bereiteich gerade auf eine Klausur vor und sitze derzeit an diesen Aufgaben.
Bei den drei Aufgaben ist mit die Berechnung jetzt nicht so wichtig, sondern mir geht es mehr um das Verständnis von Existenz und der Konvergenz vom Picard Lindelöf Iterationsverfahren.
Zunächst zu 1.)
Eine eindeutige Lösung von y'=f(x,y(x)) existiert dann nach Picard Lindelöf wenn f(x,y(x)) lipschitz stetig ist.
Wenn ich jetzt meine Gleichung nicht in die Form y'=g(y) bringen kann bedeutet das dann, dass es keine eind. Lsg weil es keinen Fixpunkt gibt weil die Form y'=g(y) ja y=Ty entschricht mit T:= [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{g(y)dx}?Kann [/mm] man das so pauschal sagen??
Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar!
Beste Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 29.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bitte poste jeweils nur eine Aufgabe (Forenregel Nr. 11).
> Besitzt das Anfangswertproblem
> [mm]y=y'+e^y'[/mm]
> eine eindeutige Lösung?
> Hinweis: Lässt sich die Dgl umformen in y'=g(y)?
> Zunächst zu 1.)
> Eine eindeutige Lösung von y'=f(x,y(x)) existiert dann
> nach Picard Lindelöf wenn f(x,y(x)) lipschitz stetig ist.
> Wenn ich jetzt meine Gleichung nicht in die Form y'=g(y)
> bringen kann bedeutet das dann, dass es keine eind. Lsg
> weil es keinen Fixpunkt gibt weil die Form y'=g(y) ja y=Ty
> entschricht mit T:= [mm]\eta + \integral_{a}^{b}{g(y)dx}[/mm]?Kann
> man das so pauschal sagen??
Tipp: Wenn sich die DGL in die Form $y'=g(y)$ umformen lässt, und wenn diese Funktion g stetig diff'bar ist, so sind die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt, denn die stetige Diff'barkeit impliziert die Lipschitzbedingung. Eine explizite Darstellung der Funktion g gibt es wohl nicht, aber denk mal an den Satz von der inversen Funktion.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 29.01.2012 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Rainer,
Danke erstmal für deinen Tipp! Kann ich das denn auch so deuten wie ich das geschrieben habe, oder ist das falsch?
(ich habe die Fragen zusammen gepostet weil sich meine Fragen auf alle drei beziehen, ich hoffe das ist ok)
Beste Grüße
LuisA44
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:05 So 29.01.2012 | | Autor: | LuisA44 |
Bei Aufgabe 2 und 3 geht es um die Konvergenz desPicard-Lindelöf-Verfahrens. Wann konvergiert es konkret? Wenn meine Funktion f lipschitzstetig ist? Wenn es trotz nicht eindeutiger Lösung konvergiert, wie erkenne ich das genau? Wie könnte ich begründen dass das Iterationsverfahren für das AwP konvergiert ohne die Iterationen zuberechnen und den Limes laufen zu lassen?
Über eure Anregungen und Tipps wäre ich sehr dankbar! Hab da noch nicht so den Überblick :(
Grüße
LuisA44 :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 04.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 30.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> Danke erstmal für deinen Tipp! Kann ich das denn auch so
> deuten wie ich das geschrieben habe, oder ist das falsch?
Wenn du die DGL nicht in die gewünschte Form bringen kannst, dann sind die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf nicht erfüllt. Da dieser Satz keine Äquivalenzaussage trifft, folgt daraus gar nichts.
Das soll nicht heißen, dass du die Funktion g explizit angeben musst. Existenz reicht, dann funktioniert auch die Iteration im Prinzip. Konstruktion von g ist erst nötig, wenn du die Iteration explizit durchführen willst.
Viele Grüße
Rainer
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