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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 15.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Die Funktion f (x,u) sei im Streifen S = [mm] Jx\IR, [/mm] J = [0,a] stetig und genüge der Bedingung
[mm] |f(x,u)-f(x,v)|\le \bruch{L}{x}|u-v|, [/mm] für 0 < [mm] x\le [/mm] a, u,v [mm] \in \IR
[/mm]
mit k < 1. Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem u'=f(x,u) in J, u(0) [mm] =\eta [/mm] genau eine Lösung besitzt und dass sich diese durch sukzessive Approximation berechnen lässt.
Hinweis: Die Menge B:={ [mm] u\in [/mm] C(J)| [mm] \parallel u\parallel<\infty [/mm] } bildet einen Banachraum bzgl. der Norm [mm] \parallel u\parallel:=sup [/mm] { [mm] |u(x)|/x|0
[mm] (Tu)(x):=\integral_{0}^{x}{f(t,\eta+u(t)) dt}
[/mm]
B nach B abbildet und dort eine Kontraktion ist. Zeigen Sie ferner, dass die Fixpunkte von T bis auf eine Konstante die Lösungen des AWP sind. |
Hallo Forum,
also ich habe mir folgendes bei der Aufgabe bisher überlegt:
Die Menge B bildet einen Banachraum bzgl der angegebenen Norm.Der Operator T ordnet jeder Funktion u aus dem Banachraum C(J) der in J stetigen Funktionen eine Funktion Tu aus demselben Banachraum zu.
ZZ: Der Operator ist auf B eine Kontraktion:
[mm] |(Tu)(x)-(Tv)(x)|=|\integral_{0}^{x}{f(t,\eta+u(t))-f(t,\eta+v(t)) dt}|
[/mm]
[mm] \le \integral_{0}^{x}{L|u(t)-v(t)| dt}
[/mm]
= L [mm] \integral_{0}^{x}{|u(t)-v(t)|\bruch{1}{t}t dt}
[/mm]
[mm] \le [/mm] L [mm] \parallel u-v\parallel \integral_{0}^{x}{t dt}
[/mm]
=L [mm] \parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
[mm] |(Tu)(x)-(Tv)(x)|\le [/mm] L [mm] \parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
[mm] \gdw |(Tu)(x)-(Tv)(x)|\bruch{1}{x} \le [/mm] L [mm] \parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x
[/mm]
[mm] \parallel Tu-Tv\parallel\le \bruch{L}{2}*a \parallel u-v\parallel
[/mm]
und a muss jetzt a<2/L
Ist das so in Ordnung? irgendwie kommt mir das komisch vor, dass ich am Ende das a noch drin stecken hab? Müsste da nicht auch [mm] \bruch{L}{x} [/mm] stehen?
Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar!
Beste Grüße
LuisA44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f (x,u) sei im Streifen S = [mm]Jx\IR,[/mm] J = [0,a]
> stetig und genüge der Bedingung
>
> [mm]|f(x,u)-f(x,v)|\le \bruch{L}{x}|u-v|,[/mm] für 0 < [mm]x\le[/mm] a,
> u,v [mm]\in \IR[/mm]
>
>
> mit k < 1. Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem
> u'=f(x,u) in J, u(0) [mm]=\eta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
genau eine Lösung besitzt und
> dass sich diese durch sukzessive Approximation berechnen
> lässt.
> Hinweis: Die Menge B:={ [mm]u\in[/mm] C(J)| [mm]\parallel u\parallel<\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } bildet einen Banachraum bzgl. der Norm [mm]\parallel u\parallel:=sup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]|u(x)|/x|0Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a }.Zeigen Sie dass der Operator T,
> definiert durch
>
> [mm](Tu)(x):=\integral_{0}^{x}{f(t,\eta+u(t)) dt}[/mm]
>
> B nach B abbildet und dort eine Kontraktion ist. Zeigen Sie
> ferner, dass die Fixpunkte von T bis auf eine Konstante die
> Lösungen des AWP sind.
> Hallo Forum,
>
> also ich habe mir folgendes bei der Aufgabe bisher
> überlegt:
> Die Menge B bildet einen Banachraum bzgl der angegebenen
> Norm.Der Operator T ordnet jeder Funktion u aus dem
> Banachraum C(J) der in J stetigen Funktionen eine Funktion
> Tu aus demselben Banachraum zu.
> ZZ: Der Operator ist auf B eine Kontraktion:
>
> [mm]|(Tu)(x)-(Tv)(x)|=|\integral_{0}^{x}{f(t,\eta+u(t))-f(t,\eta+v(t)) dt}|[/mm]
>
> [mm]\le \integral_{0}^{x}{L|u(t)-v(t)| dt}[/mm]
>
> = L [mm]\integral_{0}^{x}{|u(t)-v(t)|\bruch{1}{t}t dt}[/mm]
>
> [mm]\le[/mm] L [mm]\parallel u-v\parallel \integral_{0}^{x}{t dt}[/mm]
>
> =L [mm]\parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]|(Tu)(x)-(Tv)(x)|\le[/mm] L [mm]\parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]\gdw |(Tu)(x)-(Tv)(x)|\bruch{1}{x} \le[/mm] L [mm]\parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x[/mm]
>
> [mm]\parallel Tu-Tv\parallel\le \bruch{L}{2}*a \parallel u-v\parallel[/mm]
>
> und a muss jetzt a<2/L
>
> Ist das so in Ordnung? irgendwie kommt mir das komisch vor,
> dass ich am Ende das a noch drin stecken hab? Müsste da
> nicht auch [mm]\bruch{L}{x}[/mm] stehen?
>
> Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar!
1. Du mußt zerst zeigen: T(B) [mm] \subseteq [/mm] B.
2. Oben hast Du nicht die in der Aufgabenstellung genannte Norm verwendet !
3. Schau Dich mal um, nach: "Satz von Nagumo"
FRED
>
> Beste Grüße
> LuisA44
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:37 Mi 16.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Fred,
>
> 1. Du mußt zerst zeigen: T(B) [mm]\subseteq[/mm] B.
>
> 2. Oben hast Du nicht die in der Aufgabenstellung genannte
> Norm verwendet !
>
> 3. Schau Dich mal um, nach: "Satz von Nagumo"
>
Danke für deine Antwort! Also das B in sich selber abbildet ergibt sich doch daraus, dass es sich mit der Norm um einen Banachraum handelt und der abgeschlossen ist nach Definition?
Den zweiten Einwand verstehe ich nicht:/ Ich hab doch hier die Norm verwendet:
> > = L [mm]\integral_{0}^{x}{|u(t)-v(t)|\bruch{1}{t}t dt}[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] [/mm] L [mm]\parallel u-v\parallel \integral_{0}^{x}{t dt}[/mm]
Was mache ich hier falsch?
> >
> > [mm]\gdw |(Tu)(x)-(Tv)(x)|\bruch{1}{x} \le[/mm] L [mm]\parallel u-v\parallel \bruch{1}{2}x[/mm]
>
> >
> > [mm]\parallel Tu-Tv\parallel\le \bruch{L}{2}*x \parallel u-v\parallel[/mm]
>
> >
Muss ich nicht einfach am Ende L=k/x setzen und dann kürzt sich das x weg?
Den Satz von Nagumo hatten wir noch nicht in der VL:(
> >
Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar!
>
> 1. Du mußt zerst zeigen: T(B) [mm]\subseteq[/mm] B.
>
> 2. Oben hast Du nicht die in der Aufgabenstellung genannte
> Norm verwendet !
>
> 3. Schau Dich mal um, nach: "Satz von Nagumo"
>
Beste Grüße
LuisA44
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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