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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf ein Intervall über dem die Lösung der AWA mind existiert
y'(x)= [mm] (x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2) [/mm] mit y(0)=0 |
Hallo zusammen,
sitze grade an dieser aufgabe und komme gar nicht zu recht...
also in der Vorlesung haben wir zum Existenz-Satz von Picard-Lindelöf folgendes festgehalten:
G [mm] \subset \IR^n [/mm] offen, Gebiert f [mm] \in C^0 [/mm] (G) lokal lipschitz-stetig bzgl. y
Die AWA y'=f(x,y) hat für jedes [mm] (\xi [/mm] , [mm] \eta) \in [/mm] G eine Lösung [mm] \phi [/mm] , die [mm] y(\xi)= \eta [/mm] nicht fortsetzbar ist und nach links und rechts dem Rand von G bel. nahe kommt. Sie ist eindeutig bestimmt d.h. alle Lösungen der AWA sind Restriktionen von [mm] \phi.
[/mm]
so und jetzt wieder zur aufgabe
hier ist also y'= [mm] (x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2) [/mm] =f(x,y)
f(0)=0 --> [mm] f(\xi)= \eta
[/mm]
also [mm] \xi [/mm] = 0 und [mm] \eta [/mm] = 0
wollte jetzt zuerst mal zeigen, dass y' lipschitz-stetig ist:
|| f(x,y) -f(x,z)|| [mm] \le [/mm] || y-z||
[mm] ||(x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2) [/mm] - [mm] (x^2+z^2)exp(1-x^2-y^2)|| [/mm] = || [mm] [x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-y^2) +y^2x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-y^2) [/mm] ] - [mm] [[x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-z^2) +z^2x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-z^2) [/mm] ] ||
so hier komme ich dann schon nicht weiter
ich muss ja nur die lipschitz-stetigkeit bzgl y zeigen und normalerweise fällt der term mit dem x auch weg aber weiß nicht wie ich es schaffe, dass der hier wegfällt...kann mir vllt jemand weiterhelfen?
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 11.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf ein
> Intervall über dem die Lösung der AWA mind existiert
> y'(x)= [mm](x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2)[/mm] mit y(0)=0
> Hallo zusammen,
>
> sitze grade an dieser aufgabe und komme gar nicht zu
> recht...
> also in der Vorlesung haben wir zum Existenz-Satz von
> Picard-Lindelöf folgendes festgehalten:
> G [mm]\subset \IR^n[/mm] offen, Gebiert f [mm]\in C^0[/mm] (G) lokal
> lipschitz-stetig bzgl. y
> Die AWA y'=f(x,y) hat für jedes [mm](\xi[/mm] , [mm]\eta) \in[/mm] G eine
> Lösung [mm]\phi[/mm] , die [mm]y(\xi)= \eta[/mm] nicht fortsetzbar ist und
> nach links und rechts dem Rand von G bel. nahe kommt. Sie
> ist eindeutig bestimmt d.h. alle Lösungen der AWA sind
> Restriktionen von [mm]\phi.[/mm]
>
> so und jetzt wieder zur aufgabe
> hier ist also y'= [mm](x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2)[/mm] =f(x,y)
> f(0)=0 --> [mm]f(\xi)= \eta[/mm]
> also [mm]\xi[/mm] = 0 und [mm]\eta[/mm] = 0
>
> wollte jetzt zuerst mal zeigen, dass y' lipschitz-stetig
> ist:
>
> [mm]|| f(x,y) -f(x,z)|| \le || y-z||[/mm]
Das ist nicht richtig, die Bedingung lautet: [mm] $\|f(x,y)-f(x-z)\| \le [/mm] L [mm] \|y-z\| [/mm] $ .
> [mm]||(x^2+y^2)exp(1-x^2-y^2) - (x^2+z^2)exp(1-x^2-y^2)||[/mm] = ||
> [mm][x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-y^2) +y^2x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-y^2)[/mm]
> ] - [mm][[x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-z^2) +z^2x^2*exp(1)*exp(-x^2)*exp(-z^2)[/mm]
> ] ||
Wo kommt denn der zusätzliche Faktor [mm] $x^2$ [/mm] im 2. und 4. Summanden her?
Vereinfache den Ausdruck erst einmal:
[mm] \|(x^2+y^2)\exp(1-x^2-y^2)- (x^2+z^2)\exp(1-x^2-y^2)\| = \exp(1-x^2) \|(x^2+y^2)e^{-y^2} - (x^2+z^2) e^{-z^2}\|[/mm] .
Berücksichtige, dass [mm] $e^{-x^2} \le [/mm] 1 $ ist und schränke x,y,z auf feste Intervalle ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 12.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke schonmal für die antwort aber mir ist das ganze noch nicht ganz klar...
also so wie du das vereinfacht hast ist [mm] exp(1-x^2) [/mm] immer [mm] \le [/mm] 1
also wäre es für [mm] x=\pm [/mm] 1 der ausdruck 1 und für x= 0 wäre es exp
und für x>1 nähert sich der ausdruck immer weiter der null an
aber wie kann mir das weiterhelfen?
und wie schränke ich das x,y,z auf feste intervalle ein? was muss ich da beachten?
wäre toll wenn mir das jmd noch weiter erklären könnte!
danke...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 12.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke schonmal für die antwort aber mir ist das ganze noch
> nicht ganz klar...
> also so wie du das vereinfacht hast ist [mm]exp(1-x^2)[/mm] immer
> [mm]\le[/mm] 1
Nein [mm]\le e[/mm]
> also wäre es für [mm]x=\pm[/mm] 1 der ausdruck 1 und für x= 0
> wäre es exp
[mm]e[/mm]
> und für x>1 nähert sich der ausdruck immer weiter der
> null an
> aber wie kann mir das weiterhelfen?
du kannst einfach [mm] $\exp(1-x^2) \le [/mm] e $ abschätzen, dann bist du schonmal eine Abhängigkeit von x los.
> und wie schränke ich das x,y,z auf feste intervalle ein?
> was muss ich da beachten?
So wie ich die Aufgabe verstehe, ist nicht nach dem maximal möglichen Interval gesucht. Du könntest also irgendein Intervall, z.B. [mm] $|x|\le [/mm] 1$ annehmen und schauen, wie weit du damit kommst. Ähnlich für y bzw. z.
NACHTRAG: Vielleicht hilft es, [mm] $e^{-y^2}$ [/mm] auszuklammern und die Ungleichung
[mm] e^x \ge 1+x [/mm]
zu verwenden.
Viele Grüße
Rainer
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