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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 11.07.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] [a,b]\times \IR^n \to \IR^n [/mm] erfülle die Vorraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf und [mm] y_1,y_2 [/mm] seien Lösungen der Anfangswertprobleme
y´(x)= F(x,y(x)), [mm] y_1(a) [/mm] = [mm] y_1_0 [/mm] , [mm] y_2(a)= y_2_0
[/mm]
Zeigen Sie: Ist [mm] y_1(x_0) \not= y_2(x_0) [/mm] für ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b], so folgt bereits [mm] y_1(x) \not= y_2(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. |
Hallo,
ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und finde überhaupt keinen ansatz. Hat jemand eine Idee, wie ich den Beweis machen kann?
Gruß eumel
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Hallo!
Wenn ich das richtig sehe, dann ist das nur eine Umformulieren der Eindeutigkeit. Fang doch mal andersrum an:
Angenommen, es gibt ein [mm] $x_0\in[a;b]$, [/mm] so dass [mm] $y_1(x_0)=y_2(x_0)=c$. [/mm] Dann sind [mm] $y_1,y_2$ [/mm] Lösungen des Anfangswertproblems
[mm] $\tilde F\colon\ [x_0;b]\times\IR^n\to\IR^n,\ x\mapsto [/mm] F(x)$,
[mm] $y'(x)=\tilde [/mm] F(x,y(x))$, [mm] $y(x_0)=c$.
[/mm]
Da nach dem Satz von Picard-Lindelöf die Lösung eindeutig ist, gilt [mm] $y_1(x)=y_2(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in[x_0;b]$.
[/mm]
Hast du eine Idee, wie du das Prinzip auf das Intervall $[a;b]$ ausweiten kannst?
Gruß, banachella
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:50 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo banachella,
erstmal dankeschön für deine Tipps.> Hallo!
> Hast du eine Idee, wie du das Prinzip auf das Intervall
> [mm][a;b][/mm] ausweiten kannst?
Kann ich einfach dasselbe Prinzip für das Anfangswertproblem [mm] F:[a,x_{0}] \times \IR^n \to\IR^n [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] F(x)
y´(x)= F(x,y(x)) [mm] y(x_{0}) [/mm] = d
nochmal durchführen. Dann gilt ja [mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] y_{2}(x) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [a,b].
Was mir aber nicht ganz klar ist, wie mir das alles weiterhilft. Ich zeige doch jetzt nur, dass aus [mm] y_{1}(x_{0})= y_{2}(x_{0}) [/mm] folgt, dass [mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] y_{2}(x) [/mm] . Wie hilft mir das denn, meine Behauptung zu zeigen?
gruß eumel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 14.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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