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| Aufgabe | Ich habe folgende Differentialgleichung:
[mm] \dot{x}=y, \dot{y}=x^2-4
[/mm]
Wie schaut hier das Phasenportrait aus? Also mich würde nur eine Skize interessieren, ohne eine ausführliche Ausarbeitung dieser. |
Die Lösung dieser Differentialgleichung mit Anfangsbedingung (-4,0) ist [mm] x(t)=(2-6sech^2 (t),12sech^2(t)\tanh(t))
[/mm]
sech bezeichnet hier den Sekans Hyperbolicus und tanh ist der Tangens Hyperbolicus.
Lässt sich diese Lösung nun irgendwie in dem Phasenportrait integrieren?
Als letzte Frage würde mich nun interessieren was genau [mm] \omega(-4,0) [/mm] und [mm] \omega(-3,0) [/mm] sind? Also ich weiß das mit [mm] \omega [/mm] die sogenannte Limesmenge (Limit set) bezeichnet wird, kann mir in diesem Beispiel jetzt aber nichts konkretes unter den genannten Werten vorstellen, vielleicht könnt ihr mir dabei helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 28.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
händisch bleibt dir nichts übrig, als in der x-y Ebene die Vektoren (x',y') einzutragen (als Einheitsvektoren, oder mit Länge. also in (1,1) den Vektoe (1,-3) usw. durch verbinden bekommst du dann einen eindruck der Bahnkurve, die Information über t ist darin verloren, wenn du die zeit nicht an ein paar Punkte dazuschreibst. Deine Lösungen (ich hab sie nicht nachgeprüft sind dann Parameterdarstellungen deiner Kurven.
was dein [mm] \omega [/mm] sein soll weiß ich nicht
Gruss leduart
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Wenn ich dich also richtig verstehe benötige ich beim Zeichnen des Portraits nur irgendeinen Vektor (a,b), diesen setze ich in die Lösung ein, und verbinde dann die beiden Punkte?
Ich habe es jetzt mal mit Mathematica plotten lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Wenn ich dich also richtig verstehe benötige ich beim
> Zeichnen des Portraits nur irgendeinen Vektor (a,b), diesen
> setze ich in die Lösung ein, und verbinde dann die beiden
> Punkte? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
welche beiden Punkte ?
> Ich habe es jetzt mal mit Mathematica plotten lassen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Omikron123
Was Mathematica hier geliefert hat, ist eigentlich nicht
bloß ein Richtungsfeld für die DGL, sondern schon eine
Schar von Lösungskurven. Die DGL wurde also schon
für eine geeignete Auswahl von Startpunkten numerisch
integriert. Wenn du also den Ausgangspunkt (-4,0) hast,
so kannst du den Verlauf der dazu gehörigen Lösungskurve
in der Zeichnung erkennen, wenn du einfach die durch
diesen Punkt verlaufende Kurve der Schar betrachtest.
Dazu wäre nützlich, wenn du den gezeichneten Ausschnitt
der x-y-Ebene etwas erweiterst, etwa für $\ [mm] -5\le{x}\le [/mm] 5$
und $\ [mm] -6\le{y}\le [/mm] 6$
Möglicherweise kann man den Mathematica-Befehl ja
noch so anpassen, dass diese ganz spezielle Lösungskurve
auch wirklich angezeigt wird.
Von "Zeichnen des Phasenportraits von Hand" kann
dabei aber kaum noch die Rede sein.
LG , Al-Chwarizmi
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Ok, ich verstehe leider immer noch nicht ganz wie das händisch skizziert werden kann. Kannst du mir hier vlt ein Beispiel geben wie das für bestimme Punkte bei meiner Aufgabe aussieht?
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> Ok, ich verstehe leider immer noch nicht ganz wie das
> händisch skizziert werden kann. Kannst du mir hier vlt ein
> Beispiel geben wie das für bestimme Punkte bei meiner
> Aufgabe aussieht?
Naja, es wird halt etwas aufwändig, ein ausreichend
detailliertes "Phasenportrait" von Hand zu erstellen,
weil man einen zwar einfachen Prozess für sehr viele
Punkte durchführen muss.
Ich würde im vorliegenden Fall etwa einmal vorschlagen,
dass du an allen Gitterpunkten (Punkte mit ganzzahligen
Koordinaten) im Bereich $\ [mm] -5\le{x}\le [/mm] 5$ , $\ [mm] -5\le{y}\le [/mm] 5$
den dortigen Richtungsvektor [mm] (\dot{x},\dot{y}) [/mm] in geeignetem
Maßstab einzeichnest.
Ein Beispiel: Beim Punkt (x,y)=(-3,3) ist
[mm] (\dot{x},\dot{y})=(y,x^2-4)=(3,5) [/mm] . Ich würde diesen Richtungs-
vektor z.B. in 10-mal verkleinertem Maßstab einzeichnen,
also (0.3,0.5) anstatt (3,5), natürlich an der richtigen
Stelle, nämlich ausgehend vom Punkt (-3,3) und
also mit der Spitze (-2.7,3.5).
Wenn du dies nun für viele Punkte machst (zu rechnen
gibt's nicht so wahnsinnig viel ...) erhältst du eine
einigermaßen brauchbare Skizze. Aber ehrlich gesagt:
für diese Art von Arbeit ist ein Computerprogramm
wirklich besser geschaffen als wir selber. Wenn du es
aber einmal selber gemacht hast, wird dir dies zum
Verständnis der dahinter steckenden Ideen bestimmt
nützlich sein.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 29.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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