Phasenportrait < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Koeffizinetenmatrix [mm] A=\pmat{ -2 & 1 \\ -9 & -2 } [/mm] die EW, EV und ein reeles Fundamentalsystem. Skizzieren Sie das Phasenportrait. |
Hallo erstmal ,
ich habe obige Aufgabe rechnerisch schon komplett beendet, das FS lautet bei mir: [mm] \vektor{cos(3t) \\ -3 sin(3t)},\vektor{sin(3t) \\ 3 cos (3t)}.
[/mm]
Die Ew sind -2+i3 und -2-i3 und die EV: [mm] v1=\vektor{1 \\ 3i}, v2=\vektor{1 \\ -3i}.
[/mm]
Das Problem ist nur das Phasenportrait. Es handelt sich dabei ja um die Menge aller Orbits und bloß um eine Skizze. Aber ich weiß nicht, wie ich mir das nun vorzustellen habe und dann anfangen kann.
Könnte mir das bitte jemand erklären?
Vielen dank im voraus
Torste
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
du hast zwei komplex-konjugierte Eigenwerte der Form $ [mm] \lambda_{1,2}=a \pm [/mm] b*i $ ist eine spirale. Das system ist stabil, da a ein negatives vorzeichen hat. Sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:11 Di 08.06.2010 | | Autor: | Torste |
Danke schonmal.
Sieht natürlich schon sinnvoll aus - gerade wenn sin und cos eine Rolle spielen sind es ja häufig Spiralen, aber mir ist jetzt natürlich nicht klar, wie man darauf kommt und ich muss noch einige andere Phasenportrait skizzieren, also muss ich unbedingt das Prinzip dahinterverstehen.
Wie kommt man darauf - was ist mit ,,stabil" gemeint - warum hängt das von a ab?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
Gruss Torste
|
|
|
| |
|
Hi,
naja schau dir mal die lösung an:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 3i}e^{(-2-3i)t}+\vektor{1 \\ -3i}*e^{(-2+3i)t}.
[/mm]
Was passiert jetzt für [mm] t\to\infty [/mm] bzw $ [mm] t\to -\infty [/mm] $ . Wird das ganze sehr groß für große t so ist das system instabil, wird das ganze klein (so wie hier) so ist das system instabil. Für a<0 ist das ganze also stabil, für a>0 instabil.
Es gibt einfach ein paar standard-fälle die man je nach eigenvektoren leicht anpasst. Hast du bsp. 2 unterschiedliche relle eigenwerte mit gleichem vorzeichen, so nähern sich alle trajektorien dem kritischen punkt tangential zu einer Geraden.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Di 08.06.2010 | | Autor: | Torste |
Danke...
Torste
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
