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| Aufgabe | Skizziere für folgende DGL die Phasenlinien bzw. das Bifurkationsdiagramm, a sei ein reeller Parameter!
a) [mm] y´=|1-y^2|
[/mm]
b) [mm] y´=y^2-ay
[/mm]
c) [mm] y´=y^3-ay [/mm] |
Wie mache ich das? Zuerst muss ich sicher die Gleichgewichtspunkte bestimmen:
b) [mm] y_1=0 [/mm] und [mm] y_2=a
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] ist weder Quelle noch Senke
[mm] y_2 [/mm] ist für negative a eine Quelle, für positive a eine Senke
c) [mm] y_1=0 [/mm] und [mm] y_2=\wurzel{a} [/mm] und [mm] y_3= [/mm] - [mm] \wurzel{a}
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] ist weder Quelle noch Senke
[mm] y_2 [/mm] ist Senke
[mm] y_3 [/mm] ist Quelle
MfG
Mathegirl
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Kann mir jemand erklären wie ich das zeichne?
Habe ich die Quellen und Senken richtig bestimmt?
Was ist ein Bifurkationsdiagramm bzw. wie zeichne ich das und was muss ich dafür berechnen?
MfG Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kontrolliere deine posts vor dem Abschicken! ich hab meine Wahrsagerkugel benutzt um die ableitungsstriche zu sehen!
zu b, c siehe in wiki unter Transkritische Bifurkation und Pitchfork Bifurkation.
zu a) Was nennt ihr Phasenlinien? oder steht da ne zweite Abl?
Gruss leduart
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die Phasenlinie soll im Koordinatensystem die y-Achse sein, dort werden die Gleichgewichtspunkte markiert und mit Pfeilen jeweils gezeigt ob es eine Quelle ist oder eine Senke. Ist das nicht das gleiche wie ein Bifurkationsdiagramm?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu Phasenlinie weiss ich nichts, für das andere hab ich dir ja Quellen angegeben. Ich denke auch nach googeln das der Ausdruck Phasenlinie kein übicher Ausdruck im Zusammenhang mit DGL 1. Ordnung ist.
Du müsstest also eine Definition oder ein Bsp aus der Vorlesung haben.
Gruss leduart
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y´= [mm] |1-y^2|
[/mm]
Gleichgewichtspunkte sind hier: [mm] y_1=1 [/mm] und [mm] y_2=-1
[/mm]
Stimmt es, dass es sich bei beiden Punkten um Quellen handelt, aufgrund der Betragsstriche der DGL?
MfG
Mathegirl
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> y´= [mm]|1-y^2|[/mm]
>
> Gleichgewichtspunkte sind hier: [mm]y_1=1[/mm] und [mm]y_2=-1[/mm]
>
> Stimmt es, dass es sich bei beiden Punkten um Quellen
> handelt, aufgrund der Betragsstriche der DGL?
Nein. Beide Gleichgewichte sind weder Quellen noch Senken.
Grund: Für [mm] y\ne\pm [/mm] 1 gilt immer y'>0, d.h. alle Lösungen außerhalb der beiden Gleichgewichte sind streng monoton wachsend.
Damit bewegen sich die Lösungen von unten jeweils auf die Gleichgewichte zu und nach oben von den Gleichgewichten weg.
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> MfG
> Mathegirl
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> die Phasenlinie soll im Koordinatensystem die y-Achse sein,
> dort werden die Gleichgewichtspunkte markiert und mit
> Pfeilen jeweils gezeigt ob es eine Quelle ist oder eine
> Senke. Ist das nicht das gleiche wie ein
> Bifurkationsdiagramm?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Der begriff Phasenlinie sagt mir zwar nix, aber nach deiner Beschreibung glaube ich zu wissen, was gemeint ist.
Die Phasenlinie gibt die Situation für eine bestimmte DGL wieder (also für einen festen wert des Parameters a),
während ein Bifurkationsdiagramm darstellt, was passiert, wenn sich der Parameter ändert.
Ein Bifurkationsdiagramm ist somit "zweidimensional", während eine Phasenlinie "eindimensional" (aus die y-Achse begrenzt) ist.
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> Skizziere für folgende DGL die Phasenlinien bzw. das
> Bifurkationsdiagramm, a sei ein reeller Parameter!
>
> a) [mm]y´=|1-y^2|[/mm]
> b) [mm]y´=y^2-ay[/mm]
> c) [mm]y´=y^3-ay[/mm]
> Wie mache ich das? Zuerst muss ich sicher die
> Gleichgewichtspunkte bestimmen:
>
> b) [mm]y_1=0[/mm] und [mm]y_2=a[/mm]
> [mm]y_1[/mm] ist weder Quelle noch Senke
> [mm]y_2[/mm] ist für negative a eine Quelle, für positive a eine
> Senke
>
> c) [mm]y_1=0[/mm] und [mm]y_2=\wurzel{a}[/mm] und [mm]y_3=[/mm] - [mm]\wurzel{a}[/mm]
> [mm]y_1[/mm] ist weder Quelle noch Senke
> [mm]y_2[/mm] ist Senke
> [mm]y_3[/mm] ist Quelle
>
>
> MfG
> Mathegirl
Es gibt folgenden Satz für DGLn 1. Ordnung der Form y'=f(y) mit differenzierbarem [mm] f:R\to [/mm] R:
Ein Gleichgewicht [mm] y_0 [/mm] ist eine Senke, wenn [mm] f'(y_0)<0 [/mm] und eine Quelle, wenn [mm] f'(y_0)>0.
[/mm]
Für b) bedeutet das mit f'(y)=2y-a, dass im Fall a<0 a eine Senke und 0 eine Quelle ist, im Fall a>0 ist es umgekehrt.
c) geht ähnlich, auf a) ist der Satz nicht anwendbar, da f in den Gleichgewichten nicht diff'bar ist.
Bei b) und c) muss aber noch der Fall a=0 gesondert betrachtet werden.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Fr 10.02.2012 | | Autor: | chesn |
Könnte mit Phasenlinie evtl. die ![[]](/images/popup.gif) Feldlinie gemeint sein? Da finde ich einiges im Zusammenhang mit Differentialgleichungen.
Wenn ja, wie berechne bzw. zeichne ich die dann?
Danke und lieben Gruß!
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 10.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke nicht, dass Phasenlinien dasselbe ist wie das isoklinenefeld, da es in der aufgabe offensichtlich um die sog. gleichgewichtspunkte geht.
Aber ein Isoklinen, oder Feldbild ist leicht zu zeichnen, in jedem Punkt des x-y Koordinatensystems wird die steigung eingezeichnet.
hier etwa [mm] y'=1-y^2 [/mm] ist die Steigung auf allen Linien y=const die gleiche auf de
er x Achse also ueberall kleine striche mit der Steigung 1 bei y=1 lauter waagerechte Striche usw.
die graphische Loesung findet man dann wenn man bei einem Anfangswert anfaengt und immer in richtung des Feldes weitergeht,ich haeng dir ein Bildchen an, mit 3 Loesungskurven, da sieht man auch was [mm] y=\pm1 [/mm] fuer eine rolle spielt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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