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| Aufgabe | Es sei [mm] \gamma \in S_{n} [/mm] : [mm] T(\gamma)= \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma (i)}e_{i}^{T} \in M_{n}.
[/mm]
Man zeige :
1.) [mm] T(\gamma)=T(\gamma`) \Rightarrow \gamma=\gamma`
[/mm]
2.) [mm] T(\gamma)T(\gamma`)=T(\gamma \circ \gamma`)
[/mm]
3.) [mm] T(\gamma^{-1})=T(\gamma)^{T}
[/mm]
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erstmal hallo,
also zur 1.) :
[mm] T(\gamma)=T(\gamma') [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma (i)}e_{i}^{T} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma' (i)}e_{i}^{T}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [e_{\gamma(1)},...,e_{\gamma(n)}] [/mm] = [mm] [e_{\gamma'(1)},...,e_{\gamma'(n)}] [/mm]
[mm] \Rightarrow P_{\gamma}=P_{\gamma'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma [/mm] = [mm] \gamma'
[/mm]
Man muss dazu sagen , dass zu einer Permutation die Inzidenzmatrix
so definiert ist: [mm] P_{\gamma}=[e_{\gamma(1)},...., e_{\gamma(n)}] [/mm] ist.
Kann man das so als Beweis stehen lassen??
zu 2.) fällt mir leider noch nicht mal ein Ansatz ein .
zu 3.)
[mm] \gamma^{-1} [/mm] * [mm] \gamma [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
also ist [mm] T(\gamma^{-1} [/mm] * [mm] \gamma [/mm] ) = [mm] T(\gamma^{-1})*T(\gamma) [/mm]
[mm] =T(\gamma^{-1})* \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma (i)}e_{i}^{T}
[/mm]
Aber da weiß ich jetzt auch nicht wie weiter um zu zeigen , dass das genau die transponierte matrix ist.
Wäre dankbar für Hinweise ^^
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Hallo und guten Tag,
> also zur 1.) :
> [mm]T(\gamma)=T(\gamma')[/mm]
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma (i)}e_{i}^{T}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} e_{\gamma' (i)}e_{i}^{T}[/mm]
Der Schritt ist genau das, was zu zeigen ist, und da hast Du noch keine Begründung zu geschrieben.
> [mm]\Rightarrow [e_{\gamma(1)},...,e_{\gamma(n)}][/mm]
> = [mm][e_{\gamma'(1)},...,e_{\gamma'(n)}][/mm]
> [mm]\Rightarrow P_{\gamma}=P_{\gamma'}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \gamma[/mm] =
> [mm]\gamma'[/mm]
>
Du solltest Dir klar machen, was [mm] e_i\cdot e_j^T [/mm] für eine Matrix ist. Dann würd ich [mm] T(\gamma), T(\gamma') [/mm] mit geeigneten Vektoren
so multiplizieren, dass man schliesslich [mm] \gamma =\gamma' [/mm] erhält.
Es ist ja zB
[mm] (e_i\cdot e_j^T)\cdot v=(0,\ldots [/mm] , [mm] v_j,\ldots [/mm] 0), wobei der Wert [mm] v_j [/mm] an Stelle i steht.
Wenn Du also [mm] T(\gamma)\cdot [/mm] v multiplizierst fúr ein v, das alle Einträge ausser [mm] v_j [/mm] gleich 0 hat, so gilt für solches v
[mm] T(\gamma)\cdot v=e_{\gamma (i)}\cdot e_j^T\cdot [/mm] v.
Zur (2) überleg Dir doch einfach, was
[mm] (e_{\gamma (i)}\cdot e_i^T)\cdot (e_{\gamma (k)}\cdot e_k^T) [/mm] ist -
oder multipliziere wieder wie bei der (a) beide Seiten der zu zeigenden Gleichung mit geeigneten Vektoren - es steht ja oben schon fast da.
Und dann siehst Du die 93) auch direkt ein, denn es ist ja
[mm] T(\gamma)^T=\sum_i (e_{\gamma (i)}\cdot e_i^T)^T=\sum_i (e_i^T)^T\cdot e_{\gamma (i)}^T
[/mm]
Frohes Schaffen wünscht
Mathias
> Man muss dazu sagen , dass zu einer Permutation die
> Inzidenzmatrix
> so definiert ist: [mm]P_{\gamma}=[e_{\gamma(1)},...., e_{\gamma(n)}][/mm]
> ist.
>
> Kann man das so als Beweis stehen lassen??
>
> zu 2.) fällt mir leider noch nicht mal ein Ansatz ein .
>
> zu 3.)
> [mm]\gamma^{-1}[/mm] * [mm]\gamma[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> also ist [mm]T(\gamma^{-1}[/mm] * [mm]\gamma[/mm] ) =
> [mm]T(\gamma^{-1})*T(\gamma)[/mm]
> [mm]=T(\gamma^{-1})* \summe_{i=1}^{n} e_{\gamma (i)}e_{i}^{T}[/mm]
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> Aber da weiß ich jetzt auch nicht wie weiter um zu zeigen ,
> dass das genau die transponierte matrix ist.
>
> Wäre dankbar für Hinweise ^^
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