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| Aufgabe | | Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Worts MATHEMATIK so anzuordnen, dass nicht zwei gleiche Buchstaben aufeinanderfolgen? |
Hallo zusammen,
ich brauche einen Denkanstoss für diese Aufgabe.
Soweit bin ich bis jetzt:
Insgesamt gibt es [mm] $\bruch{10!}{2!*2!*2!}$ [/mm] mögliche Anordnungen, da die Buchstabe A, M und T jeweils doppelt vorkommen.
Und jetzt muss ich ja sämtliche Möglichkeiten abziehen, in denen identische Buchstaben direkt hintereinander auftreten. Also 3 identische, 2 identische und 1 identischer Buchstabe.
a) Es treten die Buchstaben A, M und T jeweils hintereinanderfolgend auf. Hierfür gibt es $7!$ Möglichkeiten.
b) Es treten zweimalig jeweils zwei identische Buchstaben nacheinander auf. Für die Buchstaben A und M gibt es hierfür [mm] $\bruch{8!}{2!}$ [/mm] Möglichkeiten, abzüglich der Möglichkeiten aus a). Also [mm] $\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!$ Möglichkeiten. Für die Buchstaben A und T, bzw. M und T gilt das gleiche. Also insgesamt $3* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!)$ Möglichkeiten für jeweils 2 identische aufeinanderfolgende Buchstaben.
c) Es treten einmalig jeweils zwei identische Buchstaben nacheinander auf. Für den Buchstaben A gibt es insgesamt [mm] $\bruch{9!}{2!*2!}$ [/mm] Möglichkeiten, abzüglich a) und $2* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!)$ (wg. b)). Das gilt für alle drei Buchstaben, also $3(* [mm] \bruch{9!}{2!*2!} [/mm] - 7! - 2* [mm] (\bruch{8!}{2!} [/mm] - 7!))$
Meine gesuchten Möglichkeiten sind dann [mm] $\bruch{10!}{2!*2!*2!}$ [/mm] abzüglich meiner Teilergebnisse aus a, b und c.
Stimmt das soweit, oder bin ich damit total auf dem Holzweg?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
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Hallo honklsponk,
> Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Worts
> MATHEMATIK so anzuordnen, dass nicht zwei gleiche
> Buchstaben aufeinanderfolgen?
> Hallo zusammen,
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> ich brauche einen Denkanstoss für diese Aufgabe.
>
> Soweit bin ich bis jetzt:
>
> Insgesamt gibt es [mm]\bruch{10!}{2!*2!*2!}[/mm] mögliche
> Anordnungen, da die Buchstabe A, M und T jeweils doppelt
> vorkommen.
>
> Und jetzt muss ich ja sämtliche Möglichkeiten abziehen,
> in denen identische Buchstaben direkt hintereinander
> auftreten. Also 3 identische, 2 identische und 1
> identischer Buchstabe.
>
> a) Es treten die Buchstaben A, M und T jeweils
> hintereinanderfolgend auf. Hierfür gibt es [mm]7![/mm]
> Möglichkeiten.
>
> b) Es treten zweimalig jeweils zwei identische Buchstaben
> nacheinander auf. Für die Buchstaben A und M gibt es
> hierfür [mm]\bruch{8!}{2!}[/mm] Möglichkeiten, abzüglich der
> Möglichkeiten aus a). Also [mm]\bruch{8!}{2!} - 7![/mm]
> Möglichkeiten. Für die Buchstaben A und T, bzw. M und T
> gilt das gleiche. Also insgesamt [mm]3* (\bruch{8!}{2!} - 7!)[/mm]
> Möglichkeiten für jeweils 2 identische
> aufeinanderfolgende Buchstaben.
>
> c) Es treten einmalig jeweils zwei identische Buchstaben
> nacheinander auf. Für den Buchstaben A gibt es insgesamt
> [mm]\bruch{9!}{2!*2!}[/mm] Möglichkeiten, abzüglich a) und [mm]2* (\bruch{8!}{2!} - 7!)[/mm]
> (wg. b)). Das gilt für alle drei Buchstaben, also [mm]3(* \bruch{9!}{2!*2!} - 7! - 2* (\bruch{8!}{2!} - 7!))[/mm]
>
> Meine gesuchten Möglichkeiten sind dann
> [mm]\bruch{10!}{2!*2!*2!}[/mm] abzüglich meiner Teilergebnisse aus
> a, b und c.
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> Stimmt das soweit, oder bin ich damit total auf dem
> Holzweg?
>
Du musst hier nur die Möglichkeiten unter a) abziehen.
Um das zu begründen, kannst Du die Elemente gruppieren:
[mm]\left(MM\right), \ \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]
Und diese gruppierten Elemente kannst Du auf 7! Arten anordnen.
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
>
Gruss
MathePower
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Hallo mathepower,
danke für deine Hilfe.
In diesem Fall: $ [mm] \left(MM\right), [/mm] \ [mm] \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), [/mm] \ [mm] \left(K\right) [/mm] $ ist aber doch nicht berücksichtigt, dass beispielsweise A und A und T und T an unterschiedlichen Positionen auftreten könnten.
Also: $ [mm] \left(MM\right), [/mm] \ [mm] \left(T\right), \left(A\right), \left(T\right), \left(A\right), \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), [/mm] \ [mm] \left(K\right) [/mm] $
Es reicht ja, wenn zwei identische Buchstaben aufeinanderfolgen und das wäre hier ja auch der Fall.
Gruß
honklsponk
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Hallo honklsponk,
> Hallo mathepower,
>
> danke für deine Hilfe.
>
> In diesem Fall: [mm]\left(MM\right), \ \left(AA\right),\ \left(TT\right),\ \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]
> ist aber doch nicht berücksichtigt, dass beispielsweise A
> und A und T und T an unterschiedlichen Positionen auftreten
> könnten.
>
> Also: [mm]\left(MM\right), \ \left(T\right), \left(A\right), \left(T\right), \left(A\right), \left(H\right),\ \left(E\right),\ \left(I\right), \ \left(K\right)[/mm]
>
> Es reicht ja, wenn zwei identische Buchstaben
> aufeinanderfolgen und das wäre hier ja auch der Fall.
>
Da hast Du recht.
Zerlege doch das Problem in kleinere Teilprobleme:
Betrache "MMAATTHEIK".
Folgen z.B die beiden M's aufeinander, so gibt es dafür 9*#AATTHEIK. Möglichkeiten.
Folgen sie nicht aufeinander so ergeben sich [mm]\bruch{10!}{\left(2!\right)^{3}}-9*\#AATTHEIK[/mm] Möglichkeiten
Betrachte als nächstes "AATTHEIK"
Folgen die beiden A's aufeinander, so gibt es 7*#TTHEIK Möglichkeiten.
Folgen sie nicht aufeinander so ergeben sich [mm]\bruch{8!}{\left(2!\right)^{2}}-7* \#TTHEIK[/mm] Möglichkeiten
Betrachte dann "TTHEIK".
> Gruß
> honklsponk
>
Gruss
MathePower
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