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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 09.04.2013 | | Autor: | Max19 |
| Aufgabe | | Fünf Briefe werden rein zufällig in fünf adressierte Umschläge gesteckt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt mindestens ein Brief in den "richtigen" Umschlag? |
Hallo,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Thema der Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Permutationen. Mir ist bereits bekannt wie ich die Wahrscheinlichkeit, dass 0 Zahlen von n fest bleiben und k Zahlen von n Zahlen fest bleiben, berechne. Nun hänge ich allerdings an dem Begriff "mindestens" fest. Natürlich kann ich für kleine n alle Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und dann addieren, doch das ist viel zu umständlich. Auch habe ich bereits versucht, die Formel umzustellen.
Beispiel:
(1/1! + 1/2! + ... + 1/5!) * [mm] (-1)^0/0!
[/mm]
Das habe ich ausprobiert und es ist natürlich falsch, daher habe ich es auch mit multiplizieren versucht:
(1/1! * 1/2! * ... * 1/5!) * [mm] (-1)^0/0!
[/mm]
Doch auch hier komme ich auf kein richtiges Ergebnis. Dass die Ergebnisse falsch sein müssen, weiß ich, weil ich das ganze mit vier Briefen durchgerechnet haben (habe mir die Möglichkeiten aufgemalt und abgezählt und konnte daher sagen, dass ich so definitiv die richtige Masterlösung hatte).
Es muss für "mindestens" etc. doch eine einheitliche Formel geben, kann mir da einer weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo max19, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
hier kommst Du über die Gegenwahrscheinlichkeit am schnellsten zum Ziel.
> Fünf Briefe werden rein zufällig in fünf adressierte
> Umschläge gesteckt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt
> mindestens ein Brief in den "richtigen" Umschlag?
>
> ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Thema der
> Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Permutationen. Mir ist
> bereits bekannt wie ich die Wahrscheinlichkeit, dass 0
> Zahlen von n fest bleiben und k Zahlen von n Zahlen fest
> bleiben, berechne.
Vielleicht stellst Du Letzteres mal hier vor, damit wir sehen können, ob Du da das richtige Ergebnis hast.
> Nun hänge ich allerdings an dem Begriff
> "mindestens" fest. Natürlich kann ich für kleine n alle
> Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und dann addieren, doch das
> ist viel zu umständlich. Auch habe ich bereits versucht,
> die Formel umzustellen.
> Beispiel:
> (1/1! + 1/2! + ... + 1/5!) * [mm](-1)^0/0![/mm]
> Das habe ich ausprobiert und es ist natürlich falsch,
> daher habe ich es auch mit multiplizieren versucht:
> (1/1! * 1/2! * ... * 1/5!) * [mm](-1)^0/0![/mm]
Was stellst Du da eigentlich um? Das ist mir nicht ersichtlich.
> Doch auch hier komme ich auf kein richtiges Ergebnis. Dass
> die Ergebnisse falsch sein müssen, weiß ich, weil ich das
> ganze mit vier Briefen durchgerechnet haben (habe mir die
> Möglichkeiten aufgemalt und abgezählt und konnte daher
> sagen, dass ich so definitiv die richtige Masterlösung
> hatte).
> Es muss für "mindestens" etc. doch eine einheitliche
> Formel geben, kann mir da einer weiterhelfen?
In der vorliegenden Aufgabe heißt "mindestens einer" doch das gleiche wie: es dürfen nicht alle Briefe im falschen Umschlag landen.
Das ist nun auch nicht gerade das einfachste aller Probleme, aber es ist leicht nachzuschlagen. Die Zahl der Möglichkeiten, dass doch alle Briefe im falschen Umschlag landen, ist die Zahl der sogenannten ![[]](/images/popup.gif) fixpunktfreien Permutationen [mm] ($\leftarrow$ click!).
Ich nehme allerdings an, dass Ihr hier tatsächlich "von Hand" vorgehen sollt, sprich eine Liste aufschreiben sollt. Für die 44 Möglichkeiten, die es bei 5 Briefen gibt, ist das ja noch machbar.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann p=\bruch{120-44}{120}=63\bruch{1}{3}\%.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:42 Di 09.04.2013 | | Autor: | Max19 |
Zum Beispiel:
Fünf Briefe werden rein zufällig in fünf adressierte Umschläge gesteckt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangen genau zwei Briefe in den "richtigen" Umschlag?
Rechnung:
P5(2) = 1/2! •( [mm] (-1)^0/0!+(-1)^1/1!+(-1)^2/2!+(-1)^3/3! [/mm] ) = 0.1666 = 16.66 %
Und für das Problem "mindestens" hatte ich mir jetzt gedacht, dass ich vorne die verschiedenen 1/k! miteinander multipliziere oder addiere.
Deine Lösung unten ist für mich komplett nachvollziehbar, doch wie löse ich das Problem, wenn es "mindestens 2" Treffer sein sollen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 09.04.2013 | | Autor: | Max19 |
Natürlich kann ich mindestens zwei Treffer von n=5 auch über deine vorgeschlagene Lösung berechnen:
(120-44-45)/120 = 25.83 %
Das heißt, ich muss die "mindestens"-Fragen immer so berechnen und es gibt keine einheitliche Formel dafür?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 09.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Max,
> Natürlich kann ich mindestens zwei Treffer von n=5 auch
> über deine vorgeschlagene Lösung berechnen:
> (120-44-45)/120 = 25.83 %
>
> Das heißt, ich muss die "mindestens"-Fragen immer so
> berechnen und es gibt keine einheitliche Formel dafür?
Du kannst die Formel aufstellen, in dem Du - wie bereits
erwähnt - über die Gegenwahrscheinlichkeit argumentierst.
Du berechnest die Anzahl #(P | P ist fixpunktfrei) (P ist
eine Permutation), in dem Du Dir die Anzahl
#(P | P hat einen festen Punkt und n-1 beliebige) anschaust.
Es ist klar, dass manche Permutationen
doppelt und dreifach vorkommen.
(Aber insgesamt bekommen wir den Summanden [mm] $\vektor{n \\ 1}*(n-1)!$)
[/mm]
Deshalb ziehen wir
von der Anzahl folgende Anzahl #(P | P hat 2 feste Punkte und n-2 beliebige)
[mm] ab(Summand=$\vektor{n \\ 2}*(n-2)!$). [/mm] Jetzt haben wir aber zu viel abgezogen.
Deshalb addieren wir #(P | P hat 3 feste Punkte und n-3 beliebige).
Das führen wir abwechselnd bis zu n durch.
Im Resultat kommen wir auf das Zwischenergebnis
[mm] $sum(n):=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot\vektor{n \\ i}\cdot(n-i)!$
[/mm]
Die Anzahl des Gegenereignis #(P | P ist fixpunktfrei) ist
in Deinem Fall $5!-sum(5)=44$
Die Wahrscheinlichkeit W(P | P hat Fixpunkte) ist somit
gegeben durch $1.0 - [mm] \left(1.0-\left(\summe_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}\cdot\vektor{n \\ i}\cdot(n-i)!}{n!}\right)\right)$.
[/mm]
Oder einfacher [mm] $\summe_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}}{i!}$.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Di 09.04.2013 | | Autor: | Max19 |
Danke für deine Hilfe Kai,
das hat mir wirklich sehr weiter geholfen (:
Gruß
Max
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