Permutationen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 06.11.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | (a) Berechnen Sie (1 2 3) [mm] \circ [/mm] (2 4) und (2 4) [mm] \circ [/mm] (1 2 3).
(b) Stellen Sie die Permutationen aus Aufgabe G3(1) als Produkt (Komposition) von Zyklen dar.
Permutationen:
[mm] \pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4 }
[/mm]
und
[mm] \delta [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 7 & 8 } [/mm] |
Ich habe folgendes gerechnet und würde eigentlich nur wissen wollen, ob das richtig ist, da ich mit der Formulierung Schwierigkeiten hatte:
zu (a):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }\circ \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }= \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
Stimmt das, oder habe ich das falsch verstanden, bzw. gerechnet?
zu (b):
ist meine Lösung:
[mm] \pi [/mm] = (1 [mm] 5)\circ [/mm] (2 7) [mm] \circ [/mm] (3 6) [mm] \circ [/mm] (4 8)
[mm] \delta [/mm] = (1 5 [mm] 3)\circ [/mm] (2 6 [mm] 4)\circ (7)\circ(8)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 So 06.11.2011 | | Autor: | Lippel |
> (a) Berechnen Sie (1 2 3) [mm]\circ[/mm] (2 4) und (2 4) [mm]\circ[/mm] (1 2
> 3).
>
> (b) Stellen Sie die Permutationen aus Aufgabe G3(1) als
> Produkt (Komposition) von Zyklen dar.
> Permutationen:
> [mm]\pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4 }[/mm]
>
> und
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 7 & 8 }[/mm]
>
> Ich habe folgendes gerechnet und würde eigentlich nur
> wissen wollen, ob das richtig ist, da ich mit der
> Formulierung Schwierigkeiten hatte:
>
> zu (a):
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }\circ \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }= \vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> und
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }[/mm]
>
> Stimmt das, oder habe ich das falsch verstanden, bzw.
> gerechnet?
Das stimmt nicht, du hast die Zykel nicht richtig interpretiert (was mich wundert, da du es ja in der (b) richtig machst.
Also $(1 2 3)$ entspricht [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4}$, [/mm] da ja in Zykelschreibweise immer hinter einem Element das Bild des Elementes steht, das heißt hier $1 [mm] \mapsto [/mm] 2, 2 [mm] \mapsto [/mm] 3, 3 [mm] \mapsto [/mm] 1$.
Kannst du damit den Zykel $(2 4)$ "übersetzen"?
>
> zu (b):
> ist meine Lösung:
>
> [mm]\pi[/mm] = (1 [mm]5)\circ[/mm] (2 7) [mm]\circ[/mm] (3 6) [mm]\circ[/mm] (4 8)
> [mm]\delta[/mm] = (1 5 [mm]3)\circ[/mm] (2 6 [mm]4)\circ (7)\circ(8)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG, Lippel
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