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Hallo!
Ich bereite mich gerade für eine Prüfung im Fach "Diskrete Mathematik und Graphentheorie" vor und habe riesige Probleme beim Verständnis der Permutationen.
Hier die Angabe mit Lösungen!
![[]](/images/popup.gif) http://www.unet.univie.ac.at/~a0000378/perm.jpg
Nur leider verstehe ich nicht wie ich auf die Gruppen komme
(312) = (12) (23)
(231) = (23) (31)
Wie komm ich darauf ?
Vielen dank
Frankster
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Ich habe eine Gruppe {1 2 3}
3 Elemente bedeuten 3! = 6 versch. Anordnungen
Aus diesen 6 Anordnungen soll ich die geraden Permutationen finden
Im UE Skript steht folgendes
123 = () -> gerade
132 = (23) -> ungerade
321 = (13) -> ungerade
213 = (12) -> ungerade
231 = (23)(31) -> geraden --> UND genau da weiss ich nicht wie man dieses (23)(31) bildet
312 = (12)(23) -> gerade --> GLEICHES Problem :(
Wenn ich mir das jetzt als Matrix aufzeichnen würde, würde stehen
1 2 3
3 1 2
1 zeigt auf 3
2 zeigt auf 1
3 zeigt auf 2
daher würde ich sagen es bildet sich (13)(32) oder (21)(13) oder (32)(13) und weiss somit das ich eine gerade Permutation habe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 12.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo nochmal!
Also zum Geheimnis der Permutationen:
Wir fangen mit den Schreibweisen an. Eine Möglichkeit ist, Argument und Bild untereinanderzuschreiben. Das sieht dann so aus
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
und bedeutet 1 auf 3, 2 auf 1, 3 auf 2.
Kürzer schreibt man das nebeneinander als (1 3 2).
Jetzt will ich das Ding in Transpositionen, das sind einfache Vertauschungen, zerlegen. Weil die 1 auf die 3 muß, fange ich damit an und vertausche 1 und 3.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
Unter die 2 soll die 1 statt der 2, also vertausche ich anschließend auch noch 1 und 2, das gibt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Jetzt bin ich schon fertig und muß das nur noch korrekt hinschreiben.
Vertauschung von 1 und 3 ist (13) und kommt zuerst, d. h. ans Ende. Dann kommt Vertauschung von 1 und 2, das ist (12). Da man die Verknüpfung von Abbildungen von rechts liest, sieht das Ergebnis so aus: (12)(13).
Ein anschauliches Beispiel dazu: Wenn in einer Bibliothek lange genug einzelne Bücher miteinander getauscht werden, kann man jedes beliebige Durcheinander erreichen!
Gruß aus dem Norden
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Frankster |
Ist (12)(13) das gleiche wie (21)(31) ?
Weil du sagst ja, 3 muss auf 1, daher vertausche ich 3 mit 1 -> wäre ja (31) oder ?
Oder muss ich mir immer die Zahl anschauen die Platz machen muss ?
Und so wie ich das verstehe gehe ich immer von dem Einselement aus (1 2 3) und schau dass ich daraus (3 1 2) bilde ?
Mal schaun ob ichs verstanden habe ;)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } [/mm] -> soll erreicht werden
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] -> Mein Startpunkt (Einselement)
Ich vertausche 2 mit 1
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
dann vertausche ich 1 mit 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } [/mm] -> ENDE :)
So zuerst hab ich 2 mit 1 getauscht (kann ich auch sagen 1 mit 2) ??
daher kommt auf die rechte Seite (1 2)
Anschliessend habe ich 1 mit 3 vertauscht (gleiche Frage: kann ich sagen 3 mit 1 vertauscht ?)
daher schreibe ich auf die linke Seite (1 3)
Endergebnis:
(1 3) (1 2)
PS: könnt ich auch statt (13)(12) schreiben ?
(13)(21)
(31)(12)
(12)(13)
(21)(13)
(12)(31)
PS: In meinem UE Skript steht als Erg.: für (231) = (2 3) (3 1)
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![[]](http://www.unet.univie.ac.at/~a0000378/perm.jpg){kind=small}
http://www.unet.univie.ac.at/~a0000378/perm.jpg![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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