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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:18 Mi 29.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Durch a, b, f, r seien folgende Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} gegeben
a = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 & 3 & 5 }
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 6 & 3 }
[/mm]
f = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 }
[/mm]
r = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 }
[/mm]
(i) Bestimmen Sie die unbekannten Permutationen g und h, wenn die Gleichungen f ◦ g ◦ h = r und
h ◦ a = b gelten.
(ii) Bestimmen Sie g als Produkt von Permutationen, wobei jeder Faktor entweder a, b, f, r oder [mm] a^{−1}, b^{−1} [/mm] , [mm] f^{−1} [/mm] , [mm] r^{−1} [/mm] ist.
(iii) Bestimmen Sie (f ◦ g ◦ [mm] h)^2. [/mm] |
Habe jetzt:
a = (2 4 6 5 3)
b = (1 4)(2 5 6)
f = (1 6)(2 4 5)
r = (1 3 4 5 6 2)
[mm] a^{-1} [/mm] = (2 3 5 6 4)
[mm] b^{-1} [/mm] = (1 4)(3 6 5)
[mm] f^{-1} [/mm] = (1 6)(2 5 4)
[mm] r^{-1} [/mm] = (1 2 6 5 4 3)
(i)
h = b [mm] \circ a^{-1}
[/mm]
h = (1 4)(2 5 6) [mm] \circ [/mm] (2 3 5 6 4)
h = (1 4 3 6 5 2)
g = [mm] f^{-1} \circ [/mm] r [mm] \circ h^{-1}
[/mm]
g = (1 6)(2 5 4) [mm] \circ [/mm] (1 3 4 5 6 2) [mm] \circ [/mm] (1 2 5 6 3 4)
g = (1 6)(3 4)(5 2)
(iii)
(f ◦ g ◦ [mm] h)^2 [/mm]
= [mm] r^2 [/mm]
= r [mm] \circ [/mm] r
= (1 3 4 5 6 2) [mm] \circ [/mm] (1 3 4 5 6 2)
= (1 4 3 5 6 2)
Kann mir jemand sagen ob meine Ergebnisse richtig sind, wie ich bei (ii) vorgehen soll und was produkt elementfremder Zykel ist ?
Danke im Voraus.
Gruß
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> Durch a, b, f, r seien folgende Permutationen der Menge {1,
> 2, 3, 4, 5, 6} gegeben
> a = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 & 3 & 5 }[/mm]
>
> b = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 6 & 3 }[/mm]
>
> f = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 }[/mm]
>
> r = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 }[/mm]
>
> (i) Bestimmen Sie die unbekannten Permutationen g und h,
> wenn die Gleichungen f ◦ g ◦ h = r und
> h ◦ a = b gelten.
> (ii) Bestimmen Sie g als Produkt von Permutationen, wobei
> jeder Faktor entweder a, b, f, r oder [mm]a^{−1}, b^{−1}[/mm] ,
> [mm]f^{−1}[/mm] , [mm]r^{−1}[/mm] ist.
> (iii) Bestimmen Sie (f ◦ g ◦ [mm]h)^2.[/mm]
Hallo rsprsp,
ich kann hier einiges nur entziffern, wenn ich mir den
Quelltext anschaue. Könntest du die notwendigen Änderungen
anbringen, damit man deine Aufgabe auch direkt lesen kann ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 04.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi rsprsp,
ich habe festgestellt, dass deine Frage, die du mittlerweile in
lesbare Form gebracht hast, noch nicht beantwortet wurde.
Deshalb habe ich jetzt die Rechnungen kontrolliert.
> Durch a, b, f, r seien folgende Permutationen der Menge
> {1, 2, 3, 4, 5, 6} gegeben:
> a = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 & 3 & 5 }[/mm]
>
> b = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 6 & 3 }[/mm]
>
> f = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 }[/mm]
>
> r = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 }[/mm]
>
> (i) Bestimmen Sie die unbekannten Permutationen g und h,
> wenn die Gleichungen f ◦ g ◦ h = r und
> h ◦ a = b gelten.
> (ii) Bestimmen Sie g als Produkt von Permutationen, wobei
> jeder Faktor entweder a, b, f, r oder [mm]a^{−1}, b^{−1}[/mm] ,
> [mm]f^{−1}[/mm] , [mm]r^{−1}[/mm] ist.
> (iii) Bestimmen Sie (f ◦ g ◦ [mm]h)^2.[/mm]
> Habe jetzt:
> a = (2 4 6 5 3) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b = (1 4)(2 5 6) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du dich vermutlich verschrieben. Es sollte heißen: b = (1 4)(3 5 6)
> f = (1 6)(2 4 5)
> r = (1 3 4 5 6 2)
Genau dies waren nun übrigens die Darstellungen der gegebenen
Permutationen als Produkte elementfremder Zykel.
> [mm]a^{-1}[/mm] = (2 3 5 6 4)
> [mm]b^{-1}[/mm] = (1 4)(3 6 5)
> [mm]f^{-1}[/mm] = (1 6)(2 5 4)
> [mm]r^{-1}[/mm] = (1 2 6 5 4 3)
>
> (i)
> h = b [mm]\circ a^{-1}[/mm]
> h = (1 4)(2 5 6) [mm]\circ[/mm] (2 3 5 6 4)
> h = (1 4 3 6 5 2)
(möglicherweise Folgefehler, da du mit dem obigen falschen b weitergerechnet hast)
>
> g = [mm]f^{-1} \circ[/mm] r [mm]\circ\ h^{-1}[/mm]
> g = (1 6)(2 5 4) [mm]\circ[/mm] (1
> 3 4 5 6 2) [mm]\circ[/mm] (1 2 5 6 3 4)
> g = (1 6)(3 4)(5 2)
>
> (iii)
> (f ◦ g ◦ [mm]h)^2[/mm]
> = [mm]r^2[/mm]
> = r [mm]\circ[/mm] r
> = (1 3 4 5 6 2) [mm]\circ[/mm] (1 3 4 5 6 2)
> = (1 4 3 5 6 2)
Nun noch zu Teilaufgabe (ii) :
Du hattest schon die Darstellung h = b [mm]\circ\ a^{-1}[/mm]
Für eine Darstellung von g kann man so vorgehen:
Es soll ja gelten:
f ◦ g ◦ h = r
Wenn wir hier das soeben genannte für h einsetzen, haben wir:
f ◦ g ◦ b ◦ [mm] a^{-1} [/mm] = r
Diese Gleichung kann man nun schrittweise entweder von links
oder von rechts mit einzelnen geeigneten Faktoren multiplizieren,
bis man am Schluss eine Gleichung der Form
g = .... ◦ .... ◦ .... ◦ ....
hat. Anfangen würde ich z.B. mit der Multiplikation von links mit
dem Faktor [mm] f^{-1} [/mm] . Dabei entsteht:
[mm] f^{-1} [/mm] ◦ ( f ◦ g ◦ b ◦ [mm] a^{-1}) [/mm] = [mm] f^{-1} [/mm] ◦ r
oder:
[mm] \underbrace{(f^{-1} ◦ f)}_{id} [/mm] ◦ (g ◦ b ◦ [mm] a^{-1}) [/mm] = [mm] f^{-1} [/mm] ◦ r
also
g ◦ b ◦ [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} [/mm] ◦ r
Nächster Schritt: von rechts mit a multiplizieren mit dem Ziel,
das [mm] a^{-1} [/mm] von der linken Seite zu entfernen. Nachher noch
ein weiterer analoger Umformungsschritt.
Alles klar ?
LG , Al-Chwarizmi
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