Permutation mit Wiederholungen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 13.06.2011 | | Autor: | pirad |
| Aufgabe | Es gibt in einer Urne n schwarze und n weiße Kugeln. Diese werden alle nacheinander gezogen.
Gesucht ist die Summe der Abstände der i-ten schwarzen zur i-ten weißen Kugel, für i von 1 bis n. |
Die Formel für die Summe in der Aufgabe (stimmt für die ersten n) ist [mm] \bruch{(n!)^2n2^{2n-1}}{(2n)!}.
[/mm]
Es gibt nach Tafelwerk (Permutation mit Wiederholung) [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] mögliche Reihenfolgen die 2n Kugeln aus der Urne zu ziehen. Wie kommt man auf diese Formel für die Permutation mit Wiederholung?
Im Tafelwerk steht sie als [mm] \bruch{n!}{r!s!\ldots t!}, [/mm] wenn es [mm] r,s,\ldots [/mm] ,t gleiche Kugeln in der Urne gibt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Du willst wissen wie man auf diese Formel kommt:
$ [mm] \bruch{n!}{r!s!\ldots t!} [/mm] $ ?
Ich hoffe doch ich hab jetzt die richtige rausgepickt.^^
Nehmen wir mal zum erklären an wir haben 3 schwarze und 3 weiße Kugeln.
Wir haben also 6! Möglichkeiten die Kugeln zu ziehen.
Allerdings zählen wir dabei natürlich viele doppelt denn wir tun ja so als wären die Kugeln alle klar unterscheidbar, also zB schwarz 1, schwarz 2, etc.
Nehmen wir jetzt mal an wir ziehen:
sswwsw (2x schwarz, 2x weiß, 1x schwarz, 1x weiß)
Mit unserer 6! gehen wir ja davon aus die schwarzen seien alle klar unterscheidbar, das sind sie aber nicht.
Wir haben also die Kugeln schwarz 1, schwarz 2 und schwarz 3, die beliebig auf die Zugpositionen 1,2,5 angeordnet werden können.
Dafür gibt es offensichtlich 3! Möglichkeiten.
Das heißt also wir haben 3! Möglichkeiten gezählt wo wir eigendlich nur eine hätten zählen dürfen, denn es gibt 3! verschiedene Anordnungen der Kugeln schwarz 1, schwarz 2, schwarz 3, die alle das Zugmuster sswwsw ergeben.
Wir müssen also unsere anfängliche Anzahl durch 3! teilen, also [mm] $\bruch{6!}{3!}$
[/mm]
Natürlich haben wir mit der selben Begründung auch bei den weißen zu viel gezählt, da wir 3 weiße haben müssen wir also auch hier wieder durch 3! teilen.
Das ergibt also insgesamt:
[mm] $\frac{6!}{3!*3!}$
[/mm]
Und diese Erklärung kann man natürlich auch für größere Mengen oder mehr Farben benutzen, was dann zu genau der Formel führt:
$ [mm] \bruch{n!}{r!s!\ldots t!} [/mm] $
Ich hoffe ich hab das einigermaßen verständlich geschrieben. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 15.06.2011 | | Autor: | pirad |
Danke. Da hätte ich auch selber drauf kommen können - bin ich aber nicht. Und ich hatte auf etwas konstruktiveres gehofft, also wie man aus den Varianten für n-1 die Varianten für n konstruiert, inzwischen weiß ich aber, dass auch das mir nicht weiter helfen würde.
|
|
|
|
