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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha \in S_{n} [/mm] eine Permutation und sei [mm] P_{\alpha} \in K^{n x n} [/mm] die Matrix mit den Einträgen
[mm] (P_{\alpha} )_{ij} [/mm] :=
1 falls i [mm] =\alpha [/mm] (j)
0 falls i [mm] \not= \alpha [/mm] (j)
(a) Zeigen Sie, dass [mm] f_{P_{\alpha}} (e_{i}) [/mm] = [mm] e_{\alpha(i)} [/mm] für alle i = 1,... n.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{P} [/mm] := { [mm] P_{\alpha} [/mm] | [mm] \alpha \in S_{n} [/mm] }eine Untergruppe von [mm] GL_{n}(K) [/mm] ist. |
(a)
Ist ersteinmal e ein beliebiges Element? Und bedeutet das hier, dass man durch anwenden einer Funktion, die die [mm] P_{\alpha} [/mm] bewirkt dann das Element bekommt, auf das man die Permutation an der Stelle i anwendet? Und wenn ja, wieso gilt dies dann? Es wäre mir erst einmal wichtig zu verstehen, was genau zu zeigen ist, bevor ich das dann zeigen kann .
(b)
Untergruppen verstehe ich noch immer nicht richtig, wann ist es denn eine Untergruppe und speziell hier eine Untergruppe der invertierbaren Matritzen?
Hilfe und Tipps nehme ich gerne entgegen, Danke schon einmal für das Bemühen.
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Falls noch jemand einen Hinweis hat wäre ich sehr erleichtert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Do 20.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] e_i [/mm] sind die Vektoren der Standardbasis. D.h. [mm] e_1=\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ ...}, e_2=\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ ...}, e_1=\vektor{0 \\ 0\\ 1\\ ...}, [/mm] ...
Du musst also zeigen, dass die 1 von der i-ten Stelle an die [mm] \alpha(i) [/mm] -te getauscht wird.
Untergruppe heißt nur, dass es eine Teilmenge ist
(hier [mm] \mathcal{P}\subseteq GL_{n}(K) [/mm] also für alle [mm] P_{\alpha}\in\mathcal{P} [/mm] gilt [mm] P_{\alpha}\in GL_{n}(K) [/mm] )
und trotzdem alle Gruppeneigenschaften gelten (Inverse, Abgeschlossenheit,...).
Ciao.
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