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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:15 So 19.01.2014 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | 2. Berechnen Sie die Anzahl der Elemente der Menge [mm] \{(i,j):1\le i < j \le n, \sigma(i) > \sigma(j)\} [/mm] sowie [mm] sign(\sigma) [/mm] für die folgenden vier Permutationen [mm] \sigma:
[/mm]
d) [mm] \sigma\in S_n, \sigma(i)=n-i+1 [/mm] für i=1,...,n.
Zeigen Sie für (d), dass [mm] sing(\sigma)=1 [/mm] genau dann, wenn n=4k oder n=4k+1 für eine ganze Zahl k. |
Also soll ich zuerst die Fehlstände von [mm] \sigma\in S_n, \sigma(i)=n-i+1 [/mm] für i=1,...,n berechnen.
Ich hab mir einfach mal ein paar Permutationsmatrizen angeguckt.
Für n=1 hätte ich:
[mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]
n=2
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
n=3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 } [/mm]
n=4
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 } [/mm]
n=5
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 } [/mm]
also für
n=k
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & \cdots & k \\ k & (k-1) & (k-2) & \cdots & 1 }
[/mm]
Also man erkennt das sich der Fehlstand sich wie folgt ergibt
[mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] k, mit [mm] n\in \IN
[/mm]
Irgendwie finde ich das es noch nicht so ganz zu ende gedacht ist.
Mir fällt aber nicht ein, wie ich das besser zeigen könnte.
Daraus würde sich dann auch das mit [mm] sing(\sigma)=1 [/mm] ergeben. Denn dafür muss der Fehlstand grade sein, und das ist er immer nur beim vierfachen.
Mfg. Der Joker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 21.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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