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| Aufgabe | Begründen Sie, warum die reelle Funktion
$f(x) = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}$
[/mm]
mit [mm] $a_{k}\in\IR$ [/mm] nicht periodisch sein kann. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme, das zu begründen. Ich habe folgendermaßen begonnen:
$f(x) = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*e^{(k-m)*x}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{2*m}\frac{a_{k-m}}{e^{m}}*\left(e^{x}\right)^{k}$
[/mm]
Nun substituiere ich $y = [mm] e^{x}$. [/mm] Diese Substitution ist bijektiv. Definiere außerdem [mm] $b_{k}:=\frac{a_{k-m}}{e^{m}}$.
[/mm]
$f(y) = [mm] \sum_{k=0}^{2*m}b_{k}*y^{k}$,
[/mm]
d.h. nun habe ich Polynom 2m-ten Grades vorliegen. Das kann allerdings nicht periodisch sein, denn es gibt eine Konstante [mm] $c\in\IR$, [/mm] sodass $f(y)$ in [mm] x_{0} [/mm] eine Nullstelle hat. Wenn $f(y)$ periodisch wäre, wäre auch $f(y) + c$ periodisch, was aber bedeuten würde, dass f unendlich viele Nullstellen hätte --> Widerspruch zu $f(y)+c$ ist Polynom 2m-ten Grades.
Ich weiß nun aber nicht genau, wie ich von der Argumentation über f(y) wieder zurück zur der Argumentation für f(x) komme, könntet ihr mir da helfen?
---------------
Könnte ich alternativ auch einfach sagen:
Wenn f periodisch wäre, müsste gelten: $f(x) = [mm] f(x+\omega)$. [/mm] Dann müsste also gelten:
[mm] $f(x+\omega) [/mm] = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*(x+\omega)} [/mm] = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*\omega}*e^{k*x} [/mm] = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x} [/mm] = f(x)$.
Darf ich jetzt so etwas wie einen Koeffizientenvergleich machen und dann folgern, dass [mm] $e^{k*\omega} [/mm] = 1$ sein muss, also [mm] $\omega [/mm] = 0$, Widerspruch zur Periodizität?
Vielen Dank und Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Begründen Sie, warum die reelle Funktion
>
> [mm]f(x) = \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}[/mm]
>
> mit [mm]a_{k}\in\IR[/mm] nicht periodisch sein kann.
Doch, kann sie: wenn [mm] $a_k [/mm] = 0$ fuer $k [mm] \neq [/mm] 0$ ist und [mm] $a_0$ [/mm] beliebig. Dann ist sie naemlich konstant :)
Du willst vermutlich zeigen, dass dies die einzige Moeglichkeit ist, dass die Funktion periodisch ist.
> Bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme, das zu
> begründen. Ich habe folgendermaßen begonnen:
>
> [mm]f(x) = \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*e^{(k-m)*x}[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=0}^{2*m}\frac{a_{k-m}}{e^{m}}*\left(e^{x}\right)^{k}[/mm]
Hier ist etwas kaputtgegangen! Du hast im Nenner [mm] $e^{m x}$ [/mm] und nicht [mm] $e^m$.
[/mm]
> Nun substituiere ich [mm]y = e^{x}[/mm].
Nehmen wir mal an das gerade wuerde stimmen. (Um es zu korrigieren, kannst du genauso fortfahren: der Identitaetssatz gilt naemlich auch fuer rationale Funktionen und nicht nur fuer Polynome.)
> Diese Substitution ist bijektiv.
Naja, du musst schon Werte- und Zielbereich angeben. Der Wert [mm] $e^x$ [/mm] wird ja z.B. niemals 0 oder gar negativ.
> Definiere außerdem [mm]b_{k}:=\frac{a_{k-m}}{e^{m}}[/mm].
>
> [mm]f(y) = \sum_{k=0}^{2*m}b_{k}*y^{k}[/mm],
>
> d.h. nun habe ich Polynom 2m-ten Grades vorliegen. Das kann
> allerdings nicht periodisch sein,
Das behauptet auch niemand, da $x [mm] \mapsto [/mm] y = [mm] e^x$ [/mm] nicht linear ist. Du weisst nur, dass es eine Konstante [mm] $\lambda [/mm] > 0$ mit [mm] $f(\lambda [/mm] y) = f(y)$ gibt. Damit funktioniert dein Argument allerdings auch:
> denn es gibt eine
> Konstante [mm]c\in\IR[/mm], sodass [mm]f(y)[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] eine Nullstelle
Meinst du $f(y) + c$ anstelle $f(y)$?
> hat. Wenn [mm]f(y)[/mm] periodisch wäre, wäre auch [mm]f(y) + c[/mm]
> periodisch, was aber bedeuten würde, dass f unendlich
> viele Nullstellen hätte --> Widerspruch zu [mm]f(y)+c[/mm] ist
> Polynom 2m-ten Grades.
Wenn du das periodisch durch das "multiplikativ periodisch" ersetzt, funktioniert es.
> Ich weiß nun aber nicht genau, wie ich von der
> Argumentation über f(y) wieder zurück zur der
> Argumentation für f(x) komme, könntet ihr mir da helfen?
Na, wenn $f(y)$ konstant ist, folgt [mm] $b_k [/mm] = 0$ fuer $k > 0$, also [mm] $a_\ell [/mm] = 0$ fuer [mm] $\ell [/mm] = -m + 1, [mm] \dots, [/mm] m$. Damit ist $f(x) = [mm] a_{-m} e^{-m x}$.
[/mm]
Und wenn du es oben korrigierst, wuerde [mm] $a_k [/mm] = 0$ fuer $k [mm] \neq [/mm] 0$ herauskommen, also $f(x) = [mm] a_0$.
[/mm]
> ---------------
>
> Könnte ich alternativ auch einfach sagen:
>
> Wenn f periodisch wäre, müsste gelten: [mm]f(x) = f(x+\omega)[/mm].
> Dann müsste also gelten:
>
> [mm]f(x+\omega) = \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*(x+\omega)} = \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*\omega}*e^{k*x} = \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x} = f(x)[/mm].
>
> Darf ich jetzt so etwas wie einen Koeffizientenvergleich
> machen und dann folgern
Wenn ihr gezeigt habt, dass [mm] $e^{n x}$, [/mm] $n [mm] \in \IZ$ [/mm] eine linear unabhaengige Familie von Funktionen bilden, dann darfst du das so machen. Andernfalls musst du wieder $y = [mm] e^x$ [/mm] substitutieren und das ganze auf Polynome bzw. rationale Funktionen zurueckfuehren.
> dass [mm]e^{k*\omega} = 1[/mm] sein muss,
> also [mm]\omega = 0[/mm], Widerspruch zur Periodizität?
Das darfst du dann.
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal vielen Dank für deine Antwort! Ich musste zwar eine Weile drüber nachdenken, aber jetzt ist der Groschen gefallen 
Allerdings habe ich noch Probleme, das am Anfang exakt aufzuschreiben, und wollte euch deswegen nochmal um Hilfe bitten. Also:
Zu zeigen: $f(x) = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}$ [/mm] ist nicht periodisch (Außer f ist konstant).
Beweis: Angenommen, f wäre periodisch, dann würde gelten: [mm] $\exists \omega\in \IR_{+}: \forall x\in\IR: f(x+\omega) [/mm] = f(x) $.
Es ist
$f(x) = [mm] \sum_{k=-m}^{m}a_{k}*e^{k*x}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*\left(e^{x}\right)^{k-m}$
[/mm]
Ich substituiere nun $y = [mm] e^{x}\in \IR_{+}$, [/mm] betrachte also die Funktion $g(y) = [mm] f(\ln(y)), g:\IR_{+}\to\IR_{+}$. [/mm] Für diese gilt dann wegen [mm] $f(x+\omega) [/mm] = f(x)$:
[mm] $f(\ln(y)+\omega) [/mm] = [mm] f(\ln(y))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(\ln(y)+\ln(e^{\omega})) [/mm] = [mm] f(\ln(y))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(\ln(y*e^{\omega})) [/mm] = [mm] f(\ln(y))$,
[/mm]
d.h. für [mm] $\lambda [/mm] := [mm] e^{\omega} [/mm] > 1$ wegen [mm] $\omega [/mm] > 0$, dass ein [mm] $\lambda [/mm] > 1$ existieren müsste mit
[mm] $g(y*\lambda) [/mm] = [mm] f(\ln(y*\lambda)) [/mm] = [mm] f(\ln(y)) [/mm] = g(y)$
Die Funktion $g$ hat die folgende Gestalt:
$g(y) = [mm] f(\ln(y)) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*\left(e^{\ln(y)}\right)^{k-m} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*y^{k-m} [/mm] = [mm] \frac{\sum_{k=0}^{2*m}a_{k-m}*y^{k}}{y^{m}}$,
[/mm]
d.h. es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion. Es existiert nun ein c, sodass g+c in [mm] y_{0} [/mm] eine Nullstelle besitzt. Da es nun aber ein [mm] $\lambda [/mm] > 1$ gibt mit [mm] $g(\lambda*y) [/mm] = g(y)$, folgt daraus dass g+c unendlich viele Nullstellen beide [mm] $y_{0}*\lambda^{n}$, n\in\IN [/mm] hätte. Daraus folgt, dass g + c das Nullpolynom sein muss, es folgt [mm] $a_{k-m} [/mm] = 0$ für $k = 1,...,2m.$
Das würde aber bedeuten, dass die Ausgangsfunktion konstant sein muss.
Ist das so okay?
Bitte um Verbesserungen, wenn etwas nicht exakt genug ist 
Danke für Eure Mühe und Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 12.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Warum zeigst du nicht einfach
[mm]f \ \text{nicht konstant} \ \ \Rightarrow \ \ \left| f(x) \right| \to \infty \ \ \text{für} \ \ x \to \infty \ \ \text{oder für} \ \ x \to - \infty[/mm]
Das widerspricht aber der Periodizität, denn eine stetige periodische Funktion muß beschränkt sein.
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