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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Di 22.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Sind f: [mm] \IR \to \IR [/mm] periodische Funktionen mit Periode p,dann ist f+g periodisch mit Periode p.
b) Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] periodische Funktion mit Periode p,so ist für jedes n [mm] \in \IN [/mm] auch np eine Periode von f. |
Hallo,
Also a) hab ich glaube ich eigentlich soweit
- f(x)=f(x+p) und g(x)=g(x+p) also ist f(x+p)+g(x+p)=(f+g)(x+p)
ist das richtig und ausreichend?
Aber zu b) habe ich Fragen
- Ist folgendes gemeint : f(x)=f(x+np) ?
Wie rechne ich das dann(mit Induktion?)?
Schreibe ich f(x)=f(x+ p+p+...+p)= f(x+ [mm] \summe_{i=p}^{n} [/mm] p) das mit dem Summenzeichen hab ich nicht so drauf(wie schreibt man das?) und führe so die Induktion durch?
Danke schonmal im vorraus...
Lg
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Hallo annklo
> Also a) hab ich glaube ich eigentlich soweit
> - f(x)=f(x+p) und g(x)=g(x+p) also ist
> f(x+p)+g(x+p)=(f+g)(x+p)
> ist das richtig und ausreichend?
Ja, das reicht. Nur noch sauber aufschreiben:
[mm](f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(x+p) + g(x+p) = (f+g)(x+p)[/mm]
> Aber zu b) habe ich Fragen
> - Ist folgendes gemeint : f(x)=f(x+np) ?
Ja.
> Wie rechne ich das dann(mit Induktion?)?
Genau.
> Schreibe ich f(x)=f(x+ p+p+...+p)= f(x+ [mm]\summe_{i=p}^{n}[/mm]
> p) das mit dem Summenzeichen hab ich nicht so drauf(wie
> schreibt man das?)
Man schreibt [mm] f(x+ p+p+...+p)= f(x+ \summe_{i=1}^{n}p)[/mm] (Startindex beachten), aber diese Summe ist nichts anderes als [mm]n \cdot p[/mm]. Also laß die Summe besser weg.
> und führe so die Induktion durch?
Am besten mit [mm]n \cdot p[/mm]. Das ist einfacher aufzuschreiben.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 22.05.2007 | | Autor: | annklo |
Danke, aber jetzt häng ich bei der Induktion.
Ich nehme also f(x)=f(x+np)
Ind.Anfang: f(1)=f(1+np) was sagt mir das? ist das richtig so?
Ind.Schritt: f(x+1)= f(x+1+np) ich weiß überhaupt nichts damit anzufangen,ist das so richtig? oder muss ich das noch umschreiben in f(x)+f(1)+f(np)? und dann???
danke schön....
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> Danke, aber jetzt häng ich bei der Induktion.
> Ich nehme also f(x)=f(x+np)
> Ind.Anfang: f(1)=f(1+np) was sagt mir das? ist das
> richtig so?
Nein. Die Induktion muß über n laufen.
[mm] n=1:[/mm] [mm]f(x+1 \cdot p) = f(x)[/mm] nach Def. der Periodizität
[mm]n \to n+1[/mm]: [mm]f(x+(n+1) \cdot p) = f(x+np+p) = f(x+np)[/mm] nach Def. der Periodizität
Und weiter: [mm]f(x+np) = f(x)[/mm] nach Induktionsvoraussetzung
LG
Karsten
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