Periodenlänge < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] 3*sin(2x)=cos(x)[/mm]
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Hallo!
Ich kenne ja die Periodenlänge von Sinus, Kosinus und Tangensfunktion. Wie funktioniert das aber bei zusammengesetzten Funktionen?Gibt es irgend ein fixes Lösungsverfahren?Könnte es mir bitte jemand zeigen?
z.B
[mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
[mm]6*sin(x)*cos(x)-cos(x)=0[/mm]
[mm]cos(x)*(6sin(x)-1)=0[/mm]
[mm]cos(x)=0 [/mm]
[mm] x=\pm\bruch{\pi}{2}+k2\pi
[/mm]
[mm] sin(x)=\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] x=\pm0,16755+2k\pi
[/mm]
Somit habe ich aber nur 2 Ergebnisse.Für die weiteren bräuchte ich ja die Periodenlänge von [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 28.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]3*sin(2x)=cos(x)[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich kenne ja die Periodenlänge von Sinus, Kosinus und
> Tangensfunktion. Wie funktioniert das aber bei
> zusammengesetzten Funktionen?Gibt es irgend ein fixes
> Lösungsverfahren?Könnte es mir bitte jemand zeigen?
>
> z.B
>
> [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
> [mm]6*sin(x)*cos(x)-cos(x)=0[/mm]
> [mm]cos(x)*(6sin(x)-1)=0[/mm]
>
> [mm]cos(x)=0 [/mm]
> [mm]x=\pm\bruch{\pi}{2}+k2\pi[/mm]
>
> [mm]sin(x)=\bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]x=\pm0,16755+2k\pi[/mm]
>
> Somit habe ich aber nur 2 Ergebnisse.Für die weiteren
> bräuchte ich ja die Periodenlänge von [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
Du hast doch alles richtig gemacht !? Was sollen denn die "weiteren Ergebnisse" sein ?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mo 28.07.2008 | | Autor: | abakus |
> > [mm]3*sin(2x)=cos(x)[/mm]
> >
> > Hallo!
> >
> > Ich kenne ja die Periodenlänge von Sinus, Kosinus und
> > Tangensfunktion. Wie funktioniert das aber bei
> > zusammengesetzten Funktionen?Gibt es irgend ein fixes
> > Lösungsverfahren?Könnte es mir bitte jemand zeigen?
> >
> > z.B
> >
> > [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
> > [mm]6*sin(x)*cos(x)-cos(x)=0[/mm]
> > [mm]cos(x)*(6sin(x)-1)=0[/mm]
> >
> > [mm]cos(x)=0 [/mm]
> > [mm]x=\pm\bruch{\pi}{2}+k2\pi[/mm]
> >
> > [mm]sin(x)=\bruch{1}{6}[/mm]
> >
> > [mm]x=\pm0,16755+2k\pi[/mm]
> >
> > Somit habe ich aber nur 2 Ergebnisse.Für die weiteren
> > bräuchte ich ja die Periodenlänge von [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
>
>
> Du hast doch alles richtig gemacht !? Was sollen denn die
> "weiteren Ergebnisse" sein ?
>
>
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Gruß
> >
> > Angelika
> >
>
>
> FRED
Im übrigen gilt: Verknüpfst du mehrere periodische Funktionen, so ist die neue Periodenlänge gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller einzelnen Periodenlängen.
Gruß Abakus
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> Im übrigen gilt: Verknüpfst du mehrere periodische
> Funktionen, so ist die neue Periodenlänge gleich dem
> kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller einzelnen
> Periodenlängen.
> Gruß Abakus
Aber nur, falls man mit "+" verknüpft 
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Im übrigen gilt: Verknüpfst du mehrere periodische
> Funktionen, so ist die neue Periodenlänge gleich dem
> kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller einzelnen
> Periodenlängen.
Ich fürchte, diese Formulierung, "die neue Periodenlänge", könnte Leser zu falschen Schlüssen verleiten. Man betrachte etwa Beispiele wie [mm] $\cos(x)\cdot\cos(x)$ [/mm] (Faktoren haben Periode [mm] $2\pi$, [/mm] Produkt hat Periode [mm] $\pi$) [/mm] und [mm] $\sin(x)+\sin(-x)$ [/mm] (Summanden haben Periode [mm] $2\pi$, [/mm] Summe hat Periode ... oops). - Und dann gibt es noch Fälle wie [mm] $\sin(x)+\cos(\sqrt{3}x)$, [/mm] bei denen man sich fragen wird, was nun genau das kleinste gemeinsame Vielfache der Peridodenlängen [mm] $2\pi$ [/mm] und [mm] $2\pi/\sqrt{3}$ [/mm] ist...
Mit "die Periodenlänge" ist also offenbar nicht "die kleinste positive Periode(nlänge)" gemeint, sondern bloss "eine Periode(nlänge)".
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Danke für die Informationen!
Es gibt also gar keine einheitliches Verfahren zur Bestimmung der Periodenlänge, oder? Wie gehe ich dann bei goniometrischen Gleichungen vor, wo ich diese brauche, um die anderen Lösungen anzugeben?Genügt hier eine Periodenlänge oder muss es die kleinste sein?
" Im übrigen gilt: Verknüpfst du mehrere periodische
Funktionen, so ist die neue Periodenlänge gleich dem
kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller einzelnen
Periodenlängen."
>
> Ich fürchte, diese Formulierung, "die neue Periodenlänge",
> könnte Leser zu falschen Schlüssen verleiten. Man betrachte
> etwa Beispiele wie [mm]\cos(x)\cdot\cos(x)[/mm] (Faktoren haben
> Periode [mm]2\pi[/mm], Produkt hat Periode [mm]\pi[/mm]) und [mm]\sin(x)+\sin(-x)[/mm]
> (Summanden haben Periode [mm]2\pi[/mm], Summe hat Periode ... oops).
> - Und dann gibt es noch Fälle wie [mm]\sin(x)+\cos(\sqrt{3}x)[/mm],
> bei denen man sich fragen wird, was nun genau das kleinste
> gemeinsame Vielfache der Peridodenlängen [mm]2\pi[/mm] und
> [mm]2\pi/\sqrt{3}[/mm] ist...
> Mit "die Periodenlänge" ist also offenbar nicht "die
> kleinste positive Periode(nlänge)" gemeint, sondern bloss
> "eine Periode(nlänge)".
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Informationen!
>
> Es gibt also gar keine einheitliches Verfahren zur
> Bestimmung der Periodenlänge, oder? Wie gehe ich dann bei
> goniometrischen Gleichungen vor, wo ich diese brauche, um
> die anderen Lösungen anzugeben?Genügt hier eine
> Periodenlänge oder muss es die kleinste sein?
Es geht nichts kaputt, wenn du versehentlich die Periodenlänge zu groß (als Vielfaches der eigentlichen Periodenlänge) wählst. Hauptsache, du hast innerhaln der VON DIR bestimmten Periodenlänge alle Lösungen gesucht.
Beispiel: Die Sinusfunktion hat die Periodenlänge [mm] 2\pi, [/mm] es gilt also sin x = [mm] sin(x+2\pi).
[/mm]
Die Gleichung sin x = 0,5 hat innerhalb der ersten positiven Periode die Lösungen ) [mm] \pi/6 [/mm] und [mm] 5\pi/6, [/mm] ALLE Lösungen sind dann
[mm] \pi/6 +k*2\pi [/mm] und [mm] 5\pi/6 +k*2\pi.
[/mm]
Wenn jemand behauptet, die Periodenlänge wäre [mm] 4\pi, [/mm] hat er damit nicht ganz unrecht, denn es gilt natürlich auch sin x = [mm] sin(x+4\pi).
[/mm]
Dann muss man natürlich auch bei der Suche der Lösungen von sin x = 0,5 den gesamten Bereich von 0 bis [mm] 4\pi [/mm] durchsuchen. Man erhält einzeln
[mm] \pi/6 [/mm] , [mm] 5\pi/6 [/mm] , [mm] 13\pi/6 [/mm] und [mm] 17\pi/6, [/mm] und das muss jeweils mit [mm] k$*$[red]4[/red]$\pi$ [/mm] addiert werden.
Die Lösungen sind die selben wie im ersten Fall, denn [mm] 13\pi/6 [/mm] und [mm] 17\pi/6 [/mm] erhält man aus [mm] \pi/6 [/mm] bzw. [mm] 5\pi/6 [/mm] durch Addition von [mm] 2*\pi.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> " Im übrigen gilt: Verknüpfst du mehrere periodische
> Funktionen, so ist die neue Periodenlänge gleich dem
> kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller einzelnen
> Periodenlängen."
> >
> > Ich fürchte, diese Formulierung, "die neue Periodenlänge",
> > könnte Leser zu falschen Schlüssen verleiten. Man betrachte
> > etwa Beispiele wie [mm]\cos(x)\cdot\cos(x)[/mm] (Faktoren haben
> > Periode [mm]2\pi[/mm], Produkt hat Periode [mm]\pi[/mm]) und [mm]\sin(x)+\sin(-x)[/mm]
> > (Summanden haben Periode [mm]2\pi[/mm], Summe hat Periode ... oops).
> > - Und dann gibt es noch Fälle wie [mm]\sin(x)+\cos(\sqrt{3}x)[/mm],
> > bei denen man sich fragen wird, was nun genau das kleinste
> > gemeinsame Vielfache der Peridodenlängen [mm]2\pi[/mm] und
> > [mm]2\pi/\sqrt{3}[/mm] ist...
> > Mit "die Periodenlänge" ist also offenbar nicht "die
> > kleinste positive Periode(nlänge)" gemeint, sondern bloss
> > "eine Periode(nlänge)".
>
> Gruß
>
> Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke für die Informationen!
>
> Es gibt also gar keine einheitliches Verfahren zur
> Bestimmung der Periodenlänge, oder? Wie gehe ich dann bei
> goniometrischen Gleichungen vor, wo ich diese brauche, um
> die anderen Lösungen anzugeben? Genügt hier eine
> Periodenlänge oder muss es die kleinste sein?
Gehen wir zurück zu Deinem ursprünglichen Problem. Du hattest eine goniometrische Gleichung auf die Form
[mm]\cos(x)\cdot (6\sin(x)-1)=0[/mm]
gebracht. Das Produkt auf der linken Seite ist genau dann gleich 0, wenn der erste oder der zweite Faktor gleich 0 ist. Also hast Du richtigerweise die Lösungsmengen [mm] $\mathcal{L}_1$, [/mm] der Gleichung [mm] $\cos(x)=0$, [/mm] und [mm] $\mathcal{L}_2$, [/mm] der Gleichung [mm] $6\sin(x)-1=0$, [/mm] bestimmt. Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ist dann einfach [mm] $\mathcal{L}=\mathcal{L}_1\;\red{\cup}\;\mathcal{L}_2$. [/mm] Keinerlei weiteres Verwursten von in [mm] $\mathcal{L}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{L}_2$ [/mm] erkennbaren Perioden ist nötig oder auch nur zulässig.
In Deinem Beispiel [mm] $\cos(x)\cdot (6\sin(x)-1)=0$ [/mm] war die Situation insofern noch einfach, als ja in beiden Lösungsmengen [mm] $\mathcal{L}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{L}_2$ [/mm] dieselbe Periode [mm] $2\pi$ [/mm] auftritt. Betrachte aber einmal [mm] $\cos(x)\cdot (6\sin(\sqrt{3}x)-1)=0$: [/mm] die Periode von [mm] $\mathcal{L}_1$ [/mm] wäre dann noch immer [mm] $2\pi$, [/mm] diejenige von [mm] $\mathcal{L}_2$ [/mm] aber [mm] $2\pi/\sqrt{3}$. [/mm] Für diese beiden Periodenlängen gibt es sogar schlicht kein "kleinstes gemeinsames Vielfaches". - Macht aber gar nichts: denn, wie gesagt, es gibt keinen Anlass und keine Berechtigung, die in solche Teillösungsmengen einer Gleichung auftretenden Perioden miteinander zu verwursten.
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Vielen Dank für die Hilfe!
Bei der obigen Aufgabe ist mir das schon klar, nur allgemein betrachtet kann ist es ja nicht überall zielführend auszuklammern. Was wäre denn wenn man nicht ausklammern könnte also z.B mit einer Substitution und anschließend quadratischen Gleichung zum Ziel kommen würde? Könnte man dann in jedem Fall den Ansatz mit dem gemeinsamen Vielfachen verwenden?Und was wäre, wenn dies wie in deinem obigen Beispiel nicht existieren würde. Wäre man dann rechnerisch verloren und müsste graphische Wege suchen?
Was mich außerdem beschäftigt:Wie finde ich bei z.B sin(x)=0,5 alle Lösungen im Bereich von [mm] 4*\pi.
[/mm]
[mm] arcsin(0,5)=\pm30° [/mm] also [mm] \pm\bruch{\pi}{6} [/mm] Wie komme ich den auf die anderen Ergebnisse, ohne die kürzeste Periodenlänge zu wissen?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Bei der obigen Aufgabe ist mir das schon klar, nur
> allgemein betrachtet kann man ja nicht überall ausklammern.
Stimmt. Aber es ist schon mal wichtig zu wissen, dass in diesem Falle (dass die Gleichung in die Form "Produkt = 0") gebracht werden kann, die Perioden der Lösungsmengen für das $=0$ werden der einzelnen Faktoren der Gleichung überhaupt nichts miteinander zu tun zu haben brauchen. Man bildet am Ende einfach die Vereinigungsmenge der einzelnen Teillösungsmengen.
> Was wäre denn wenn man nicht ausklammern könnte also z.B
> mit einer Substitution und anschließend quadratischen
> Gleichung zum Ziel kommen würde? Könnte man dann in jedem
> Fall den Ansatz mit dem gemeinsamen Vielfachen
> verwenden?
Also diese Theorie von wegen "gemeinsame Vielfache der Periodenlängen" ist für das Lösen einer goniometrischen Gleichung meiner unmassgeblichen Meinung nach völlig irrelevant. Perioden kommen einfach beim Lösungsprozess dann und nur dann ins Spiel, wenn Du eine Arkusfunktion anwendest. Ist eine solche Periode einmal in der Gleichung drin, dann rechnest Du einfach weiter, als ob die noch frei wählbare ganze Zahl, die an die so ins Spiel gebrachte Periode ranmultipliziert ist, eine bekannte Konstante wäre. Beispiel:
[mm]\begin{array}{lcll}
2\cos(x^2-1) &=& 1 &\big| \div 2\\
\cos(x^2-1) &=& \frac{1}{2} &\big| \red{\arccos}\\
x^2-1 &=& \red{\pm} \arccos(1/2)\red{+k\cdot 2\pi,k\in \IZ} &\big| +1\\
x^2 &=& 1\pm \frac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi &\big| \sqrt{\;\;\;}\\
x_{1,2} &=& \pm \sqrt{1\pm \frac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi}, k\in \IZ
\end{array}[/mm]
Die Periode [mm] $k\cdot 2\pi$ [/mm] für den Term [mm] $x^2-1$ [/mm] ist, wie Du sehen kannst wegen der Anwendung von [mm] $\arccos$ [/mm] ins Spiel gekommen. Danach habe ich einfach weitergerechnet, als würde es sich um eine bekannte Konstante handeln.
Hier muss allerdings noch überlegt werden, für welche Werte von $k$ der Radikand dieser Wurzel überhaupt [mm] $\geq [/mm] 0$ ist. Wenn ich auf die Schnelle richtig überlegt habe, lautet die Lösungsmenge der Gleichung insgesamt:
[mm]\mathcal{L}=\{\pm \sqrt{1 + \frac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi} \mid n \in \IZ^{+}_0\} \cup \{\pm \sqrt{1 - \frac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi} \mid n \in \IZ^{+}\}[/mm]
Aber davon, ob diese Lösungsmenge nun exakt richtig ist, einmal abgesehen sollte klar sein: die [mm] $x_{1,2}$ [/mm] haben selbst keine simple Periode mehr, denn die [mm] $k\cdot 2\pi$-Periode [/mm] des Radikanden wird nach dem Wurzelziehen nicht mehr zu einer Periode der [mm] $x_{1,2}$ [/mm] führen.
> Und was wäre, wenn dies wie in deinem obigen
> Beispiel nicht existieren würde. Wäre man dann rechnerisch
> verloren und müsste graphische Wege suchen?
Es kann natürlich beim Lösen von goniometrischen Gleichungen (wie ja, betrüblicherweise, beim Lösen von Gleichungen im allgemeinen) immer geschehen, dass man die Gleichung nicht rein algebraisch auflösen kann. In solchen Fällen wird man sich wohl mit graphischen / numerischen Verfahren begnügen müssen: keine allzu befriedigende Situation - aber so ist das Leben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Was mich außerdem beschäftigt:Wie finde ich bei z.B
> sin(x)=0,5 alle Lösungen im Bereich von [mm]4*\pi.[/mm]
[mm] $4\pi$ [/mm] ist eine Zahl. Ein Bereich wäre allenfalls das Intervall [mm] $[0;4\pi]$.
[/mm]
Die allgemeine Lösung erhält man so
[mm]\begin{array}{lcll}
\sin(x) &=& 0.5 &\big|\arcsin\\
x &=& \begin{cases}
\arcsin(0.5)+k\cdot 2\pi &=\blue{\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\
\pi-\arcsin(0.5)+k\cdot 2\pi &= \red{\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}
\end{cases}
\end{array}[/mm]
>
> [mm]arcsin(0,5)=\pm30°[/mm] also [mm]\pm\bruch{\pi}{6}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\pm$ [/mm] ist hier falsch: das kannst Du nur beim [mm] $\arccos$ [/mm] so machen (siehe oben).
> Wie komme ich den
> auf die anderen Ergebnisse, ohne die kürzeste Periodenlänge
> zu wissen?
Nun klapperst Du also die obige allgemeine Lösung der Gleichung nach Lösungen ab, die im fraglichen Intervall [mm] $[0;4\pi]$ [/mm] liegen. Dies erfordert hier etwas Bruchrechnen. Für die Lösungen der Form [mm] $x=\blue{\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}$ [/mm] ist zunächst klar, dass [mm] $k\geq [/mm] 0$ sein muss (sonst wäre $x<0$). Also beginnst Du mit $k=0$ und zählst $k$ dann immer wieder um $1$ höher, bis Du bei einem Wert von [mm] $x>4\pi$ [/mm] angekommen bist. Damit erhältst Du für diesen Teil der allgemeinen Lösung die speziellen Lösungen [mm] $\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$. [/mm]
Dann verwendest Du dasselbe Prozedere für die allgemeinen Lösungen der Form [mm] $x=\red{\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}$. [/mm] Dies ergibt die speziellen Lösungen [mm] $\frac{5\pi}{6},\frac{17\pi}{6}$.
[/mm]
Die gesuchte Menge der Lösungen im Bereich [mm] $[0;4\pi]$ [/mm] wäre somit
[mm]\mathcal{L}=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right\}[/mm]
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Danke Somebody und Abakus!
Jetzt habe ich die Sache mit der Periodenlänge verstanden.Ihr habt mir das sehr ausführlich erklärt.Auch hier muss man aber die kürzeste Periodenlänge [mm] (2*\pi) [/mm] kennen, um die Lösungen im Intervall [mm] [0;4*\pi] [/mm] berechnen zu können.
Bei der Cosinusfunktion ist das ja kein Problem, aber z.B bei tan(x)+cos(x)=1+sin(x)
[mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}+cos(x)-sin(x)-1=0=\bruch{sin(x)}{\wurzel{1-sin^2(x)}}+\wurzel{1-sin^2(x)}-sin(x)-1
[/mm]
sin(x)=u
[mm] \bruch{u}{\wurzel{1-u^2}}+\wurzel{1-u^2}-u-1=0
[/mm]
[mm] u=u*\wurzel{1-u^2}+\wurzel{1-u^2}+u^2-1
[/mm]
[mm] (-u^2+u^+1)^2=u^2(1-u^2)+2u(1-u^2)+1-u^2
[/mm]
[mm] 2u^4-u^2=0
[/mm]
[mm] u^2(2u^2-1)=0
[/mm]
x=0+.......
x=0,785+.....
Vielleicht hätte man es anders berechnen können aber so ist die kürzeste Periodenlänge der Funktion tan(x)+cos(x)-sin(x)-1=f(x)
mir unbekannt.Oder kann ich aufgrund der Subst. sin(x)=x die Periodenlänge des Sinus annehmen?
Aber ohne die Kenntnis der kürzesten Periodenlänge kann ich ja nicht einfach die Lösungen im Bereich [mm] [0;4*\pi] [/mm] berechnen, oder?Das war das Problem, dass ich vorhin ansprechen wollte.Wenn ich die kürzeste Periodenlänge wie im vorigen Beispiel [mm] 2*\pi [/mm] kenne, ist dies natürlich kein Problem mehr.
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke Somebody und Abakus!
>
> Jetzt habe ich die Sache mit der Periodenlänge
> verstanden.Ihr habt mir das sehr ausführlich erklärt.Auch
> hier muss man aber die kürzeste Periodenlänge [mm](2*\pi)[/mm]
> kennen, um die Lösungen im Intervall [mm][0;4*\pi][/mm] berechnen zu
> können.
Noch eine grundsätzliche Bemerkung: wenn Du eine Frage stellen willst, auf die Du eine Antwort erwartest, dann solltest Du auch eine Frage und nicht nur eine blosse Mitteilung ins Formum stellen. Nicht nur läufst Du sonst Gefahr, keine Antwort zu erhalten: der ganze Reservationsmechanismus für Fragen wird so von Dir einfach ausgehebelt. Das hat zur Folge, dass Du eventuell mehrfache Antworten auf dieselbe Frage erhältst. Wenn Du die Mitglieder des Forums allzu oft auf diese Weise unnötig Antworten eintippsen und tappsen lässt, kann es leicht geschehen, dass der Antwortsegen, den Du auf diesem Wege vorläufig erhältst, bald abstirbt...
>
> Bei der Cosinusfunktion ist das ja kein Problem, aber z.B
> bei tan(x)+cos(x)=1+sin(x)
>
> [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}+cos(x)-sin(x)-1=0=\bruch{sin(x)}{\wurzel{1-sin^2(x)}}+\wurzel{1-sin^2(x)}-sin(x)-1[/mm]
>
> sin(x)=u
>
> [mm]\bruch{u}{\wurzel{1-u^2}}+\wurzel{1-u^2}-u-1=0[/mm]
Dies hier ist problematisch, weil je nach dem, in welchen Quadranten der Winkel $x$ liegt, [mm] $\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}$ [/mm] oder [mm] $\sin(x)=-\sqrt{1-\cos^2(x)}$ [/mm] gilt. Du müsstest also zumindest zwei verschiedene Wurzelgleichungen lösen. Und dann, nach dem Lösen der Wurzelgleichung noch sicher sein, ob es sich nicht um "Scheinlösungen" handelt, die durch Quadrieren der Gleichung dazugekommen sind.
>
> [mm]u=u*\wurzel{1-u^2}+\wurzel{1-u^2}+u^2-1[/mm]
>
> [mm](-u^2+u^+1)^2=u^2(1-u^2)+2u(1-u^2)+1-u^2[/mm]
>
> [mm]2u^4-u^2=0[/mm]
> [mm]u^2(2u^2-1)=0[/mm]
ich habe diese Auflösung der Gleichung für $u$ nicht nachgerechnet.
>
> x=0+.......
> x=0,785+.....
Du hast nun eben leider darauf verzichet, die Perioden für diese beiden Varianten der allgemeinen Lösung auch hinzuschreiben. Es ist, möchte ich einmal vermuten,
[mm]x =\begin{cases}
k\cdot 2\pi\\
\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi
\end{cases}, k\in\IZ
[/mm]
>
> Vielleicht hätte man es anders berechnen können aber so ist
> die kürzeste Periodenlänge der Funktion
> tan(x)+cos(x)-sin(x)-1=0
> mir unbekannt.
Diese Periodenlänge, wenn es sie denn geben sollte, brauchst Du auch nicht zu kennen. Du gehst wie im Beispiel mit dem Bereich [mm] $[0;4\pi]$ [/mm] einfach hin und klapperst die Lösungen der Form [mm] $x=k\cdot 2\pi$ [/mm] nach Werten ab, die im gewünschten Bereich liegen. Und dann klapperst Du auch noch die Lösungen der Form [mm] $x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi$ [/mm] nach Werten ab, die im gewünschten Bereich liegen: und alles, was Du so gefunden hast, wirfst Du in einen Topf. Dies ist dann die Menge aller Lösungen der Gleichung im gewünschten Bereich.
>Oder kann ich aufgrund der Subst. sin(x)=x
> die Periodenlänge des Sinus annehmen?
Vergiss es. Habe ich nicht ausdrücklich geschrieben, dass Du einfach die goniometrische Gleichung schrittweise umformen musst und falls Du dabei eine Arcusfunktion beidseitig anwendest, bei der nächsten Gleichung alle die unendlich vielen Möglichkeiten hinschreiben sollst. Dort und nur dort kommen Perioden in Sicht. Aber geh doch um Gottes Willen nicht zurück zur ursprünglichen Gleichung in der Hoffnung, nun eine einzige Periode zu finden, derart dass sich aus einer einzigen speziellen Lösung der Gleichung durch blosses Addieren eines [mm] $k\in\IZ$-fachen [/mm] einer fixen "kleinsten positiven Periode" alle anderen Lösungen erzeugen liessen. Dies ist im allgemeinen Fall einfach nicht zu haben.
> Aber ohne die Kenntnis der kürzesten Periodenlänge kann
> ich ja nicht einfach die Lösungen im Bereich [mm][0;4*\pi][/mm]
> berechnen, oder?
Nochmals (es beginnt mir aus dem Hals zu hängen): Bestimme einfach die allgemeine Lösung der goniometrischen Gleichung, vorerst ohne jede Berücksichtigung einer etwaigen Einschränkung der interessierenden Lösungen auf einen bestimmten Bereich. Erst wenn Du die allgemeine Lösung hast (und diese mag mehrere Teillösungen mit je verschiedenen Perioden umfassen) kannst Du sukzessive diese allgemeine Lösung nach speziellen Lösungen abklappern, die im gewünschten Bereich liegen.
>Das war das Problem, dass ich vorhin
> ansprechen wollte. Wenn ich die kürzeste Periodenlänge wie
> im vorigen Beispiel [mm]2*\pi[/mm] kenne, ist dies natürlich kein
> Problem mehr.
Es gibt im allgemeinen keine kürzeste gemeinsame Perioden aller Teillösungen der allgemeinen Lösung. Und Du brauchst so etwas auch nicht um eine goniometrische Gleichung zu lösen. Die einzig wesentliche Frage ist, ob Du in der Lage bist, die allgemeine Lösung zu finden. Das Einschränken dieser allgemeinen Lösung auf Lösungen, die in einem vorgegebenen Bereich liegen, ist erst nach der Bestimmung der allgemeinen Lösung vorzunehmen - und stellt in der Regel keinerlei Schwierigkeiten, kann aber einige Rechenarbeit verursachen.
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Hallo Somebody!
> Noch eine grundsätzliche Bemerkung: wenn Du eine Frage
> stellen willst, auf die Du eine Antwort erwartest, dann
> solltest Du auch eine Frage und nicht nur eine blosse
> Mitteilung ins Formum stellen. Nicht nur läufst Du sonst
> Gefahr, keine Antwort zu erhalten: der ganze
> Reservationsmechanismus für Fragen wird so von Dir einfach
> ausgehebelt. Das hat zur Folge, dass Du eventuell mehrfache
> Antworten auf dieselbe Frage erhältst. Wenn Du die
> Mitglieder des Forums allzu oft auf diese Weise unnötig
> Antworten eintippsen und tappsen lässt, kann es leicht
> geschehen, dass der Antwortsegen, den Du auf diesem Wege
> vorläufig erhältst, bald abstirbt...
Mache ich für gewöhnlich auch, habe es auch diesmal gewollt aber es war zu spät die Mitteilung in einen Frageartikel zu verwandeln. Gerade wenn viele Mitteilungen als Antworten geschrieben werden, neige ich aus irgend einem unerklärlichen Grund dazu, auch Fragen als Mitteilungen zu versenden.... Tut mir leid.
> Du hast nun eben leider darauf verzichet, die Perioden für
> diese beiden Varianten der allgemeinen Lösung auch
> hinzuschreiben. Es ist, möchte ich einmal vermuten,
> [mm]x =\begin{cases}
k\cdot 2\pi\\
\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi
\end{cases}, k\in\IZ
[/mm]
Weil ich mir nicht sicher war...
> >
> > Vielleicht hätte man es anders berechnen können aber so ist
> > die kürzeste Periodenlänge der Funktion
> > tan(x)+cos(x)-sin(x)-1=0
> > mir unbekannt.
> Diese Periodenlänge, wenn es sie denn geben sollte,
> brauchst Du auch nicht zu kennen. Du gehst wie im Beispiel
> mit dem Bereich [mm][0;4\pi][/mm] einfach hin und klapperst die
> Lösungen der Form [mm]x=k\cdot 2\pi[/mm] nach Werten ab, die im
> gewünschten Bereich liegen. Und dann klapperst Du auch noch
> die Lösungen der Form [mm]x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi[/mm] nach Werten
> ab, die im gewünschten Bereich liegen: und alles, was Du so
> gefunden hast, wirfst Du in einen Topf. Dies ist dann die
> Menge aller Lösungen der Gleichung im gewünschten Bereich.
>
> >Oder kann ich aufgrund der Subst. sin(x)=x
> > die Periodenlänge des Sinus annehmen?
>
> Vergiss es. Habe ich nicht ausdrücklich geschrieben, dass
> Du einfach die goniometrische Gleichung schrittweise
> umformen musst und falls Du dabei eine Arcusfunktion
> beidseitig anwendest, bei der nächsten Gleichung alle die
> unendlich vielen Möglichkeiten hinschreiben sollst. Dort
> und nur dort kommen Perioden in Sicht. Aber geh doch um
> Gottes Willen nicht zurück zur ursprünglichen Gleichung in
> der Hoffnung, nun eine einzige Periode zu finden, derart
> dass sich aus einer einzigen speziellen Lösung der
> Gleichung durch blosses Addieren eines [mm]k\in\IZ[/mm]-fachen einer
> fixen "kleinsten positiven Periode" alle anderen Lösungen
> erzeugen liessen. Dies ist im allgemeinen Fall einfach
> nicht zu haben.
Genau das habe ich die ganze Zeit geglaubt..
>
> > Aber ohne die Kenntnis der kürzesten Periodenlänge kann
> > ich ja nicht einfach die Lösungen im Bereich [mm][0;4*\pi][/mm]
> > berechnen, oder?
>
> Nochmals (es beginnt mir aus dem Hals zu hängen): Bestimme
> einfach die allgemeine Lösung der goniometrischen
> Gleichung, vorerst ohne jede Berücksichtigung einer
> etwaigen Einschränkung der interessierenden Lösungen auf
> einen bestimmten Bereich. Erst wenn Du die allgemeine
> Lösung hast (und diese mag mehrere Teillösungen mit je
> verschiedenen Perioden umfassen) kannst Du sukzessive diese
> allgemeine Lösung nach speziellen Lösungen abklappern, die
> im gewünschten Bereich liegen.
>
> >Das war das Problem, dass ich vorhin
> > ansprechen wollte. Wenn ich die kürzeste Periodenlänge wie
> > im vorigen Beispiel [mm]2*\pi[/mm] kenne, ist dies natürlich kein
> > Problem mehr.
> Es gibt im allgemeinen keine kürzeste gemeinsame Perioden
> aller Teillösungen der allgemeinen Lösung. Und Du brauchst
> so etwas auch nicht um eine goniometrische Gleichung zu
> lösen. Die einzig wesentliche Frage ist, ob Du in der Lage
> bist, die allgemeine Lösung zu finden. Das Einschränken
> dieser allgemeinen Lösung auf Lösungen, die in einem
> vorgegebenen Bereich liegen, ist erst nach der Bestimmung
> der allgemeinen Lösung vorzunehmen - und stellt in der
> Regel keinerlei Schwierigkeiten, kann aber einige
> Rechenarbeit verursachen.
Ich weiß diese Mühe und Geduld deinerseits wirklich zu schätzten, und danke dir für diese lange und gute Erklärung.
Gruß
Angelika
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Di 29.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke Somebody und Abakus!
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> Jetzt habe ich die Sache mit der Periodenlänge
> verstanden.Ihr habt mir das sehr ausführlich erklärt.Auch
> hier muss man aber die kürzeste Periodenlänge [mm](2*\pi)[/mm]
> kennen, um die Lösungen im Intervall [mm][0;4*\pi][/mm] berechnen zu
> können.
>
> Bei der Cosinusfunktion ist das ja kein Problem, aber z.B
> bei tan(x)+cos(x)=1+sin(x)
>
> [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}+cos(x)-sin(x)-1=0=\bruch{sin(x)}{\wurzel{1-sin^2(x)}}+\wurzel{1-sin^2(x)}-sin(x)-1[/mm]
>
> sin(x)=u
Noch ein Vorschlag, wie diese Gleichung etwas "eleganter" gelöst werden kann: [mm] $x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$ [/mm] kann keine Lösung sein, da sonst der [mm] $\tan(x)$ [/mm] undefiniert ist. Also ist, sofern $x$ im Definitionsbereich der Gleichung liegt, [mm] $\cos(x)\neq [/mm] 0$. Wir konnen somit die Gleichung beidseitig mit [mm] $\cos(x)$ [/mm] multiplizieren. Ergibt
[mm]\begin{array}{lcll}
\tan(x)+\cos(x) &=& 1+\sin(x) &\big| \cdot\cos(x),\neq 0\\
\sin(x)+\cos^2(x) &=& \cos(x)+\sin(x)\cos(x) &\big| -\sin(x), -\cos(x)\\
\cos(x)\cdot(\cos(x)-1) &=& \sin(x)\cdot (\cos(x)-1)\\[.3cm]
\multicolumn{4}{l}{1. Fall:}\\
\cos(x)-1 &=& 0 &\big| +1,\arccos\\
x &=& k\cdot 2\pi,k\in\IZ &\text{($\pm$ hier ausnahmsweise nicht nötig)}\\[.3cm]
\multicolumn{4}{l}{2. Fall:}\\
\cos(x) &=& \sin(x) &\big| \div \cos(x),\neq 0\\
1 &=& \tan(x) &\big| \arctan\\
x &=& \frac{\pi}{4}+k\cdot\pi,k\in\IZ
\end{array}[/mm]
Insgesamt haben wir also die allgemeine Lösung
[mm]x=\begin{cases}
k\cdot 2\pi\\
\frac{\pi}{4}+k\cdot \pi
\end{cases},k\in\IZ[/mm]
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> [mm]3*sin(2x)=cos(x)[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich kenne ja die Periodenlänge von Sinus, Kosinus und
> Tangensfunktion. Wie funktioniert das aber bei
> zusammengesetzten Funktionen?Gibt es irgend ein fixes
> Lösungsverfahren?Könnte es mir bitte jemand zeigen?
>
> z.B
>
> [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
> [mm]6*sin(x)*cos(x)-cos(x)=0[/mm]
> [mm]cos(x)*(6sin(x)-1)=0[/mm]
>
> [mm]cos(x)=0 [/mm]
> [mm]x=\pm\bruch{\pi}{2}+k2\pi[/mm]
>
> [mm]sin(x)=\bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]x=\pm0,16755+2k\pi[/mm]
>
> Somit habe ich aber nur 2 Ergebnisse.Für die weiteren
> bräuchte ich ja die Periodenlänge von [mm]3*sin(2x)-cos(x)=0[/mm]
Es ist klar, dass du genau alle Ergebnisse mit cos(x)=0 und [mm] sin(x)=\bruch{1}{6} [/mm] brauchst. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, welche Periodenlänge dein Ausgangsproblem hat!
Aber: Du solltest dir anhand der sin- und cos-Kurven von 0 bis [mm] 2*\pi [/mm] überlegen, wo und wieviele Lösungen auftreten. Der Rest ist dann trivial.
cos(x)=0 gilt bei 90° und 270° bzw. [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] 3*\pi/2.
[/mm]
sin(x)=1/6 gilt bei x=0,16755, aber auch bei [mm] x=\pi-0,16755 [/mm] (diese Lösung ist glaube ich bisher in keinem der Beiträge aufgetaucht!!!). Du siehst das sofort, wenn du den Verlauf der Sin-Kurve skizzierst und rein qualitativ eine Parallele zur x-Achse in Höhe 1/6 einzeichnest.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alle weiteren Lösungen erhältst du nun durch Addition von [mm] 2*k*\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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