Periode einer Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gegeben ist für a > 0 die Funktion [mm] f_a(x)=(2-a*cos(x))*sin(x). [/mm]
Begründe, dass [mm] f_a [/mm] periodisch mit einer Periodenlänge von höchstens [mm] 2*\pi [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Ansatz nennen, um die Begründung für die maximale Periode von [mm] 2*\pi [/mm] angeben zu können ?
Mir ist bekannt, dass der erste Faktor 2-a*cos(x) eine Periode von [mm] 2*\pi [/mm] besitzt und genauso der zweite Faktor sin(x).
Kann man allgemein folgern, dass bei einer Multiplikation zweier periodischer Funktionen wieder eine periodische Funktion entsteht und wie kommt man auf die maximale Periode von [mm] 2*\pi [/mm] ?
Wie wäre es wenn der erste Faktor eine Periode [mm] \pi [/mm] und der zweite Faktor eine von [mm] 2*\pi [/mm] hätte ?
Vielen Dank für eure Antworten
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Rubi,
du solltest hier soweit ich sehe der Einfachheit halber bedenken, dass beide Faktoren die gleiche Periode besitzen. Daher muss für die angegebene Funktion sicherlich
[mm]f(x+2\pi)=f(x)[/mm]
gelten.
Um die tatsächliche Primitivperiode dieser Funktion zu bekommen, würde ich eine zielführende trigonometrische Identität verwenden.
Was den allgemeinen Fall angeht bin ich mir gerade nicht sicher. Da aber bereits die Summe zweier periodischer Funktionen i.A. nicht mehr periodisch ist, würde ich dies für das Produkt zunächst auch nicht annehmen, bin aber wie gesagt nicht hanz sicher.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo Diophant,
noch eine Nachfrage.
Wenn ich zwei Funktionen h(x) und g(x) habe, die beide die Periode [mm] 2*\pi [/mm] besitzen, ist es dann immer so, dass die Funktion f mit f(x)= h(x) + g(x) bzw. f(x) = h(x) - g(x) bzw. f(x)=h(x)*g(x) auch immer eine Periode von höchstens [mm] 2*\pi [/mm] besitzt ?
Begründung:
Da ja immer [mm] f(x+2*\pi)=f(x) [/mm] (*) gilt, ist f auf alle Fälle [mm] 2*\pi-periodisch, [/mm] je nach Festlegung von g(x) und h(x) könnte die Periode aber auch kleiner sein. Die Beziehung (*) würde ja auch gelten, wenn f eine Periode von [mm] \pi [/mm] hätte.
Viele Grüße
Rubi
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Hallo Rubi,
das ist eine mathematisch nicht ganz so einfache Materie. Summe und Differenz zweier periodischer Funktionen sind genau dann wieder periodisch, wenn die Periodenlängen in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen.
Musst du denn für deine aktuelle Aufgabe soweit ausholen, oder würde dir die konkrete Antwort ausreichen?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo Diophant,
nein das ist ok so, vielen Dank.
Viele Grüße
Rubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Do 29.12.2011 | | Autor: | mathemak |
> Gegeben ist für a > 0 die Funktion
> [mm]f_a(x)=(2-a*cos(x))*sin(x).[/mm]
> Begründe, dass [mm]f_a[/mm] periodisch mit einer Periodenlänge von
> höchstens [mm]2*\pi[/mm] ist.
[mm] 2\,\sin(x)*cos(x) = sin(2\,x) [/mm]
und damit
[mm] $f_a(x)= 2-\frac{a}{2} \cdot 2\,\sin(x)*cos(x) [/mm] = [mm] 2-\frac{a}{2} \cdot \sin(2\,x)$
[/mm]
Und nun bestimme die Periode!
!!!! Sorry, habe die Klammern übersehen!!!! Dann passt meine Antwort nicht! Deshalb nur als Mitteilung!
Gruß
mathematk
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