Pendel mit beweglicher Basis < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:10 Di 25.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
die Frage ist relativ allgemein. Ich suche Literatur, also Artikel, Bücher usw usf. zum Thema Pendel mit oszillierender Basis, also einem mathematischen Pendel, dass an einem sich auf und ab bewegenden Punkt angebracht ist.
Ich habe hier schon so ein paar Sachen gefunden. Weiß aber noch nicht so recht, worauf das ganze genau hinausläuft. Oftmals ging es dabei um den Lagrange-Formalismus, generalisierte Koordinaten und ähnliches.
Wäre super, wenn jemand etwas kennt.
Vielen Dank für die Hilfe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 25.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das einfachste ist, das zu lösen! wenn du einen artikel hast reicht das doch. ich versteh nicht, was da weitere bringen?
Wo liegt dein Problem?
Gruss leduart
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Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Mein Problem dabei ist, dass jeder dieser Artikel doch sehr speziell ist und ich gerne erstmal einen Überblick haben möchte, was für Methoden dafür von Nöten sind. Beispielsweise haben wir im Mechanik-Kurs das einfache mathematische Pendel behandelt und zur Beschreibung der Bewegung intrinsische Koordinaten genutzt.
Um auf meine Problemstellung zurückzukommen: Ich wusste bis heute bsp. nichts vom oben genannten Lagrange-Formalismus. Da es das Thema einer Hausarbeit mit [mm] \appros [/mm] 4000 Wörtern ist, muss ich da natürlich auch etwas Methodik mit hereinbringen um das Problem adäquat angehen zu können.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das sind ja schon irgendwelche Zwangsbedingungen, die man da mit reinpackt, da wuerde es sich anbeiten, die Lagrangefunktion [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] aufzustellen, und dann die Bewegungsgl. mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen zu loesen, die man ja aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung herleiten kann (wobei [mm] $S=\int\mathrm{d}t \, \mathcal{L}$).
[/mm]
Literatur hierzu findet sich zB im Band 1 von Florian Scheck (etwas mathematischer), oder aber auch im Kuypers - Klassische Mechanik, wo das vertial schwingende Pendel auch als Uebungsaufgabe in Kapitel 14 gerechnet wird. Auch das horizontal-schwingende Pendel ist da mit drin.
Die Methodik laeuft aber immer ueber die Lagrange-Funktion und dann mit Hilfe von Euler-Lagrange auf die Bewegungsgl.
Andere Darstellungen finden sich natuerlich auch im Landau/Lifschitz, Band 1.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mi 26.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
danke für deine Antwort. Ich habe heute mit meinem Supervisor gesprochen und er sagte mir die ungefähre Richtung, in die es gehen sollte. Das sei die Mathieu'sche Differentialgleichung und damit verbunden die sogenannte Floquet-Theorie über Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten. Deckt sich das mit dem was du schriebst, ich konnte, da ich in England bin, noch nicht alle deutschen Bücher, die du vorgeschlagen hast durchsehen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 28.05.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Die Mathieusche DGL ist auch im Kuypers drin, wo diese Aufgabe im Wesentlichen gerechnet wird. Dort soll man u.a. die Bewegungsgl. aufstellen und diese dan in die Mathieusche Normalform bringen.
Das ganze laeuft dann im Kaptiel ueber nichtlin. Schwinger, was ja passt. Der zeitabhaeng. Koeffizient kommt dann ja genau daher, dass deine Befestigung schwingt.
Also deckt sich das mit dem 'Kuypers' soweit ganz gut, der das aber wohl irgendwie naehert.
LG
Kroni
> Das sei die Mathieu'sche
> Differentialgleichung und damit verbunden die sogenannte
> Floquet-Theorie über Differentialgleichung mit
> periodischen Koeffizienten. Deckt sich das mit dem was du
> schriebst, ich konnte, da ich in England bin, noch nicht
> alle deutschen Bücher, die du vorgeschlagen hast
> durchsehen.
>
> LG
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Hi,
danke für deine Antwort :)
Ist es dieses Buch von dem du sprachst:
[mm] http://www.amazon.de/Klassische-Mechanik-Beispielen-Aufgaben-Mechanicus/dp/3527409890/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1275066526&sr=8-1
[/mm]
Nur damit ich die richtige Lektüre besorge, ist hier etwas schwierig mit deutschen Büchern!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau das Buch meine ich. Das Kap 14 mit der Aufgabe ist aber auch auf einer Buchseite von google einsehbar .... Allerdings fehlen da bei den Loesungen die letzten Plots.
LG
Kroni
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Pendel mit vertikal-schwingendem Aufhängepunkt.
Betrachte ein hängendes pendel dessen Aufhängepunkt vertiakle harmonische Schwingungen [mm] A*cos(\Omega*t) [/mm] macht. Dabei soll die Amplitude A deutlich kleiner als die pendellänge l und der Ausschlag [mm] \phi [/mm] wesentlich kleiner als [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sein.
Stelle die Beweungsgleichung auf und bringe sie in die "Mathieusche Normalform":
[mm] \phi''+(a+b*cos(\tau)*\phi=0
[/mm]
Dabie ist [mm] \phi=\phi(\tau) [/mm] eine Funktion der dimensionslosen zeit [mm] \tau:=\Omega*t [/mm] und die Striche kennzeichnen Ableitungen nach [mm] \tau. [/mm] |
Hallo,
ich hab mich jetzt damit auseinander gesetzt und bin noch auf ein bis zwei kleinere Probleme gestoßen. Die Aufgabe ist dem Kuypers entnommen.
Ich habe also die x und y Transformationsgleichungen aufgestellt wie in der Lösung:
[mm] x=l*sin(\phi) [/mm] und [mm] y=A*cos(\Omega*t)-l*(1+cos(\phi))
[/mm]
Dann habe ich die kinetische Energie [mm] T=\bruch{1}{2}*m*(\dot{x}^2+\dot{y}^2) [/mm] und die potentielle Energie [mm] V=m*g*l*cos(\phi) [/mm] aufgestellt und daraus die Lagrangefunktion bestimmt:
[mm] L=\bruch{1}{2}*m*l^2*\dot{\phi}^2-m*A*l*\dot{\phi}*\Omega*sin(\phi)*sin(\Omega*t)+m*g*l*cos(\phi)
[/mm]
Jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe: Ich müsste doch jetzt die Euler-Lagrange-Gleichung bestimmen, also
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \phi}-\bruch{d}{dt}\left(\bruch{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right)=0
[/mm]
Ist das der richtige Ansatz ?
Für [mm] \bruch{\partial L}{\partial \phi} [/mm] komme ich auf:
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \phi}=-m*A*l*\dot{\phi}*\Omega*sin(\Omega*t)*cos(\phi)-m*g*l*sin(\phi)
[/mm]
Für [mm] \bruch{d}{dt}\left(\bruch{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right) [/mm] habe ich :
[mm] \bruch{d}{dt}\left(\bruch{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right)=m*l^2*\ddot{\phi}-m*A*l*\Omega^2*\dot{\phi}*cos(\phi)*cos(\Omega*t)
[/mm]
Wenn ich das jetzt zusammensetze, sollte ich laut Lösung auf:
[mm] \ddot{\phi}+\bruch{1}{l}\left[g+\bruch{d^2}{dt^2}(A*cos(\Omega*t)\right]*sin(\phi)=\ddot{\phi}+\bruch{1}{l}*(g-A*\Omega^2*cos(\Omega*t))*sin(\phi)=0 [/mm] kommen.
Tu ich aber mit meinen Ableitungen nicht. Irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen, kann mir jemand sagen wo ?
Vielen Dank für die Hilfe.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn ichs gerade richtig ueberblick habe, liegt dein Fehler darin, dass [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] nicht stimmt.
Es fehlt da ein Term, der vom Quadrieren von [mm] $\dot{y}$ [/mm] kommt:
[mm] $\dot{y} [/mm] = [mm] -A\Omega \sin\Omega [/mm] t + [mm] l\dot{\Phi}\sin\Phi$
[/mm]
also quadriert
[mm] $\dot{y}^2 [/mm] = [mm] A^2\Omega^2\sin^2\Omega [/mm] t + [mm] l^2\dot{\Phi}^2\sin^2\Phi [/mm] - 2 A l [mm] \Omega \dot{\Phi}\sin\Omega [/mm] t [mm] \sin\Phi$
[/mm]
Da hebt sich dann einmal was mit [mm] $\cos^2+\sin^2=1$ [/mm] weg, wenn man [mm] $\dot{x}^2+\dot{y}^2$ [/mm] berechnet, aber bei dir fehlt dann noch der erste Term von [mm] $\dot{y}^2$
[/mm]
[mm] $A^2\Omega^2\sin^2\Omega [/mm] t$
Wenn ichs grob ueberschlage, kommt dann mit den Ableitungen auch die passende Bewegungsgleichung raus.
Das restliche Vorgehen ist aber soweit voellig in Ordnung.
LG
Kroni
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Hallo,
der Term macht doch aber in der Euler-Lagrange-Gleichung gar keinen Unterschied, denn wenn ich nach [mm] \phi [/mm] bzw. [mm] \dot{\phi} [/mm] ableite fällt der doch sowieso weg, da er rein zeitabhängig ist, oder ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sorry, hast natuerlich recht, das war nicht der Term, der den Unterschied ausmacht, obwohl er natuerlich rein Formell in der Lagrange-Dichte drinstehen muss (und wichtig ist, weil [mm] $\mathcal{L}$ [/mm] ja dadurch explizit Zeitabhaengig wird...).
Das Problem taucht dann bei der totalen Zeitableitung von [mm] $\partial_{\dpt{\phi}} \mathcal{L}$, [/mm] denn gibt doch der Term [mm] $-mAl\Omega\sin\phi\sin\Omega [/mm] t$ nach der Produktregel zwei Terme, du hast aber nur einen.
Mit den beiden Termen sollte man dann auch die Bewegungsgleichung rekonstruieren koennen.
LG
Kroni
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