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HI
kann mir bitte jemand dringend helfen?
weiss bei Aufgabe 5 absolut nicht was ich da machen soll!
http://www.math.uni-leipzig.de/~freistuehler/DI1/ueb2.pdf
vielleicht kann mir der eine oder andere mal eins zwei aufgaben vorrechnen denn so sehe ich das dann am besten!
ich danke euch schonmal!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo KingSebtor!
Ich denke, solche Aufgaben sollten durch eine vollständige Induktion gelöst werden (die ist ja auch ein Peano-Axiom).
Ich bearbeite Aufgabe 5 a):
Zeigen Sie
(a + b) + c = a + (b + c)
wobei "+" definiert wird durch:
(A1) a + 0 := a
(A2) a + v(b) := v(a + b)
Ich führe eine vollständige Induktion nach c durch:
Induktionsverankerung: c = 0
(a + b) + 0
= (a + b)
= a + (b + 0)
(Zweimalige Anwendung von (A1))
Induktionsschritt: c --> v(c)
(a + b) + v(c)
= v((a + b) + c)
= v(a + (b + c))
= a + v(b + c)
= a + (b + v(c))
(Anwendung von (A2), Induktionsannahme, (A2) und (A2))
Sende doch mal deinen Lösungsansatz für 5 b)!
Liebe Grüße
Clemens
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Warum kann ich bei der Induktionsverankerung einfach c=0 machen??
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Warum kann ich bei der Induktionsverankerung einfach c=0
> machen??
Schau dir dazu das (in meiner Quelle fünfte) Peano-Axiom an:
Sei X eine Menge. Wenn 0 [mm] \in [/mm] X und wenn für jedes n [mm] \in [/mm] N gilt, dass
n [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] v(n) [mm] \in [/mm] X
so enthält X die Menge der natürlichen Zahlen. (Ist X dabei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, so gilt X = N).
Nun geht es einfach darum, dieses Peano-Axiom anzuwenden:
Sei X [mm] \subseteq [/mm] N die Menge der natürlichen Zahlen c, für die gilt:
(a + b) + c = a + (b + c)
(und das für alle natürlichen Zahlen a,b)
Durch die Induktionsverankerung habe ich gezeigt, dass 0 [mm] \in [/mm] X. Durch den Induktionsschritt habe ich gezeigt, dass:
n [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] v(n) [mm] \in [/mm] X
Also muss X die Menge der natürlichen Zahlen sein und damit ist die Behauptung
(a + b) + c = a + (b + c)
für alle natürlichen Zahlen a,b,c bewiesen.
Grüße
Clemens
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