Peano-Axiome < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] M_{0} [/mm] := [mm] \IN \times \{0\} [/mm] = [mm] \{(n,0) | n\in \IN\} [/mm] und [mm] M_{1} [/mm] := [mm] \IZ \times \{1\} [/mm] = [mm] \{(z,1) | z\in \IZ\} [/mm] sowie M := [mm] M_{0} \cup M_{1} [/mm] die (disjunkte) Vereinigung von [mm] M_{0} [/mm] und [mm] M_{1}. [/mm] Weiter sei für [mm] (n,a)\in [/mm] M der Nachfolger [mm] \nu(n,a) [/mm] definiert durch [mm] \nu(n,a) [/mm] := (n+1,a).
zu zeigen:
a) [mm] (M,\nu) [/mm] erfüllt die Peano-Axiome (P1 - P4)
b) Erfüllt [mm] (M,\nu) [/mm] auch das Axiom P5? |
Guten Abend!
Ich brauch mal wieder Hilfe. Wie kann ich dieses Problem angehen?
Wie kann ich denn die Peano-Axiome mit meinen gegeben Werten beweisen?
Ich hoffe, ihr könnt mir mal wieder weiterhelfen?
Schon mal danke im Voraus und viele Grüße, Petrit!!!
Hier die 5 Peano Axiome:
P1
$ 1$ ist eine natürliche Zahl.
P2
Jede Zahl $ n$ hat genau einen Nachfolger $ n'$.
P3
$ 1$ ist kein Nachfolger einer Zahl.
P4
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl.
P5
Jede Menge, die die Zahl $ 1$ enthält und die zu jeder Zahl $ n$ auch deren Nachfolger $ n'$ enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Auf dem Axiom P5 beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion. Die Axiome werden häufig auch in der Weise formuliert, dass man $ 1$ durch 0 ersetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe die Aufgabe nicht ganz verstanden, aber vielleicht hilft dir mein Gedankengang:
> Sei [mm]M_{0}[/mm] := [mm]\IN \times \{0\}[/mm] = [mm]\{(n,0) | n\in \IN\}[/mm] und
> [mm]M_{1}[/mm] := [mm]\IZ \times \{1\}[/mm] = [mm]\{(z,1) | z\in \IZ\}[/mm] sowie M :=
> [mm]M_{0} \cup M_{1}[/mm] die (disjunkte) Vereinigung von [mm]M_{0}[/mm] und
> [mm]M_{1}.[/mm] Weiter sei für [mm](n,a)\in[/mm] M der Nachfolger [mm]\nu(n,a)[/mm]
> definiert durch [mm]\nu(n,a)[/mm] := (n+1,a).
> zu zeigen:
> a) [mm](M,\nu)[/mm] erfüllt die Peano-Axiome (P1 - P4)
> b) Erfüllt [mm](M,\nu)[/mm] auch das Axiom P5?
> Guten Abend!
Wie ist bei euch [mm] \IN [/mm] definiert?
Für mich gilt: [mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\} [/mm] und [mm] \IN:=\{1,2,\ldots\}.
[/mm]
Ich verstehe die Aufgabenstellung wie folgt:
[mm] M_{0}:=\IN \times \{0\}=\{(n,0) | n\in \IN\}=\{(1,0),(2,0),\ldots\}
[/mm]
[mm] M_{1}:=\IZ \times \{1\}=\{(z,1) | z\in \IZ\}=\{\ldots,(-1,1),(0,1),(1,1),\ldots\}
[/mm]
[mm] M:=M_0\cup M_1=\{(1,0),(2,0),\ldots\}\cup \{\ldots,(-1,1),(0,1),(1,1),\ldots\} [/mm] mit [mm] M_0\cap M_1=\emptyset.
[/mm]
Sei weiterhin die Nachfolgerfunktion [mm] \nu:\IN\Longrightarrow\IN [/mm] mit [mm] \nu(n,a):=\nu(n+1,a) [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a\in\{0,1\} [/mm] gegeben.
Die Art und Weise wie ihr die Natürlichen Zahlen eingeführt habt erinnert mich an Äquivalenzklassen. Damit kann man im Grunde Objekte mathematisch erfassen und einführen, wie [mm] \IZ, \IQ, \IR [/mm] oder auch [mm] \IC.
[/mm]
Für mich persönlich sind die Natürlichen Zahlen [mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\} [/mm] mit der Nachfolgerfunktion [mm] \nu:\IN_0\Longrightarrow\IN_0 [/mm] definiert, wobei wenn man es genau nimmt ist der Wertebereich [mm] \IN, [/mm] mit den Peanoaxiomen:
P1) [mm] 0\not\in\nu(\IN_0)
[/mm]
P2) Seien [mm] x,y\in\IN_0 [/mm] mit [mm] x\not=y, [/mm] dann gilt [mm] \nu(x)\not=\nu(y) [/mm] für alle [mm] x,y\in\IN_0
[/mm]
P3) Das Induktionsaxiom. Sei [mm] M\subset\IN_0 [/mm] mit folgenden Eigenschaften: [mm] \alpha) 0\in [/mm] M und [mm] \beta) [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] M, dann gilt [mm] \nu(x)\in [/mm] M. Aus [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] folgt dann [mm] M=\IN_0.
[/mm]
Okay, hier merke ich, dass ihr auf jeden Fall [mm] \IN:=\{1,2,\ldots\} [/mm] definiert haben müsst.
>
> Ich brauch mal wieder Hilfe. Wie kann ich dieses Problem
> angehen?
> Wie kann ich denn die Peano-Axiome mit meinen gegeben
> Werten beweisen?
> Ich hoffe, ihr könnt mir mal wieder weiterhelfen?
>
> Schon mal danke im Voraus und viele Grüße, Petrit!!!
>
> Hier die 5 Peano Axiome:
> P1
> [mm]1[/mm] ist eine natürliche Zahl.
>
> P2
> Jede Zahl [mm]n[/mm] hat genau einen Nachfolger [mm]n'[/mm].
>
> P3
> [mm]1[/mm] ist kein Nachfolger einer Zahl.
>
> P4
> Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl.
>
> P5
> Jede Menge, die die Zahl [mm]1[/mm] enthält und die zu jeder
> Zahl [mm]n[/mm] auch deren Nachfolger [mm]n'[/mm] enthält, enthält alle
> natürlichen Zahlen.
>
> Auf dem Axiom P5 beruht die Beweismethode der
> vollständigen Induktion. Die Axiome werden häufig auch in
> der Weise formuliert, dass man [mm]1[/mm] durch 0 ersetzt.
Okay, das Ende finde ich wieder ein wenig verschwommen.
Ich denke nun, dass du zunächst zeigen sollst, dass deine Menge M mit der Abbildung [mm] \nu [/mm] P1 bis P4 erfüllt.
Ich verstehe es so, dass man zum Beispiel die Zahl $1$ als [mm] 1:=(1,0)\in M_0\subset [/mm] M oder auch [mm] 1:=(1,1)\in M_1\subset [/mm] M betrachten kann. Die Zahl ist eindeutig, aber kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Das ist als ob du du eine Reelle Zahl $x$ aus Komplexe Zahl darstellen willst, dann setzt du einfach $z:=x+ib$ mit $b=0$.
Ideen:
P1) [mm] 1=(1,a)\in [/mm] M mit [mm] a\in\{0,1\}, [/mm] d.h. wir können die Zahl $1$ sowohl [mm] 1=(1,0)\in M_0\subset [/mm] M als auch [mm] 1=(1,1)\in M_1\subset [/mm] M darstellen.
P2) Sei [mm] (n,a)\in [/mm] M beliebig mit [mm] a\in\{0,1\}, [/mm] dann gilt [mm] \nu(n,a):=(n+1,a)\in [/mm] M.
P3) Hier verstehe ich es selbst nicht.
Angenommen es gibt [mm] n\in [/mm] M mit [mm] \nu(n,a)=(1,a). [/mm] Offensichtlich muss $n=0$ gelten, aber für $a=0$ gilt [mm] (0,a)\not\in M_0. [/mm] Was ich nicht verstehe: Wir könnten doch 0 darstellen als [mm] (0,1)\in M_1. [/mm] Eventuell verstehe ich die Definition von dieser Menge nicht. Mir ist klar, dass $0$ irgendwie nicht enthalten sein soll, aber ich verstehe es ehrlich gesagt nicht.
P4) Ähnliches Problem wie bei P3).
Vielleicht hilft dir das trotzdem irgendwie weiter.
Gruß
DieAcht
edit: Ich sehe gerade, dass das ganze als Antwort geändert wurde. Es war als Mitteilung gedacht, da es nur Überlegungen von mir sind und keine richtige Lösung. Aber sei es drum. Ich hoffe, dass dir das weiterhilft :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 So 24.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Die 8,
> edit: Ich sehe gerade, dass das ganze als Antwort geändert
> wurde. Es war als Mitteilung gedacht, da es nur
> Überlegungen von mir sind und keine richtige Lösung.
Grob gesprochen halten wir (Moderatorinnen und Moderatoren) das so: wenn fachlich-inhaltliches drinsteht so wie hier, ist es eine Antwort, wenn nur organistorisches drinsteht, eine Mitteilung. Derjenige, der hier geändert hat, war wohl der gleichen Ansicht. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Diophant,
danke für die Erklärung..
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 So 24.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Erstmal danke für deine Bemühungen. Aber so ganz habe ich das mit den Peano-Axiomen noch nicht verstanden und vor allem wie man das nachweißt, keine Ahnung!
Vielleicht kann mir das mal jemand anhand eines Beispiels genauer erklären, wäre echt super!
Viele Grüße, Petrit!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:29 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Nochmals danke für die Bemühungen. Aber so ganz habe ich das mit den Peano-Axiomen noch nicht verstanden und vor allem wie man das nachweißt, keine Ahnung!
Vielleicht kann mir das mal jemand anhand eines Beispiels (am Besten mit dieser Aufgabe) genauer erklären, wäre echt super!
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 27.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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