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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 11.10.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Wie viele Partitionen der Menge der natürlichen Zahlen [mm] $\IN$ [/mm] gibt es? Endlich,
abzählbar unendlich oder überabzählbar viele? Beweise deine Antwort. |
Hallo,
ich denke, es gibt abzählbar unendlich viele Partitionen der Menge der natürlichen Zahlen, da die Menge der natürlichen Zahlen ja auch abzählbar unendlich ist.
Liege ich da richtig?
Wie kann ich das beweisen?
Ich würde mich sehr über Antworten freuen!
Danke!
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> Wie viele Partitionen der Menge der natürlichen Zahlen [mm]\IN[/mm]
> gibt es? Endlich,
> abzählbar unendlich oder überabzählbar viele? Beweise
> deine Antwort.
> Hallo,
> ich denke, es gibt abzählbar unendlich viele Partitionen
> der Menge der natürlichen Zahlen, da die Menge der
> natürlichen Zahlen ja auch abzählbar unendlich ist.
> Liege ich da richtig?
> Wie kann ich das beweisen?
>
> Ich würde mich sehr über Antworten freuen!
> Danke!
moin,
Zu aller erst mal muss ich sagen ich teile deine Meinung nicht, ich bin der Meinung es sind überabzählbar viele...
Wir beschränken uns jetzt mal auf Zerlegungen in genau zwei Mengen, denn wenn eine Teilmenge überabzählbar ist dann ist es die Obermenge ja erst recht.
Hierfür nehmen wir eine Funktion
$f: [mm] \IN \to [/mm] $ {0,1}
die jeder Zahl aus [mm] $\IN$ [/mm] die Menge zuordnet, in die sie geht.
Einmal als Beispiel:
$f : [mm] \IN \to \{0,1\}, [/mm] n [mm] \mapsto \begin{cases} 0 & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
zerlegt die natürlichen Zahlen in zwei Mengen, die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden.
Da ich dir ja nicht alles verraten möchte überleg dir mal wie man auf diese Art zeigen kann, dass die Menge der Partitionen von [mm] $\IN$ [/mm] überabzählbar groß ist...
Alternativ kannst du dir das ganze über die Potenzmenge überlegen; welchen Zusammenhang gibt es zwischen Zerlegungen in genau zwei Teilmengen und der Potenzmenge?
Falls das nicht klappt erzähl am besten mal was du schon weißt, welche abzählbaren und überabzählbaren Mengen du (im Zusammenhang mit [mm] $\IN$) [/mm] schon kennst, etc.
lg
Schadow
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