Partikuläre Lösung gesucht < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
[mm] $x''\sin(t)+x\sin(t)+1=0$ [/mm] |
Also ich habe natürlich erstmal etwas umgeformt:
[mm] $x''+x=-\frac{1}{\sin(t)}$
[/mm]
Dann habe ich also eine lineare inhomogene Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten und die allgemeine Lösung ist die Summe der homogenen Lösung und einer partikulären Lösung. Also habe ich zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL ermittelt, diese lautet:
[mm] $x_{\mbox{hom}}=c_1+c_2\exp(-t), c_1,c_2\in\mathbb{R}$
[/mm]
Mein Problem ist es nun, eine partikuläre Lösung zu finden.
Mir ist bekannt, daß man je nach Typ der Störfunktion verschiedene Ansätze macht.
Hier lautet die Störfunktion
[mm] $g(t)=-\frac{1}{\sin(t)}$.
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Hier ist eine Tabelle, die verschiedenen Typen von Störfunktionen jeweils einen Ansatz zuordnet. Jedoch kann ich meine Störfunktion keinem Typ zuordnen...
Kann mir dabei bitte jemand helfen?
Ganz viele Grüße
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
>
> [mm]x''\sin(t)+x\sin(t)+1=0[/mm]
> Also ich habe natürlich erstmal etwas umgeformt:
>
> [mm]x''+x=-\frac{1}{\sin(t)}[/mm]
>
> Dann habe ich also eine lineare inhomogene
> Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten
> Koeffizienten und die allgemeine Lösung ist die Summe der
> homogenen Lösung und einer partikulären Lösung. Also
> habe ich zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL
> ermittelt, diese lautet:
>
> [mm]x_{\mbox{hom}}=c_1+c_2\exp(-t), c_1,c_2\in\mathbb{R}[/mm]
setz das mal in die homogene Gleichung ein und überprüfe ob die Lösung stimmt.
>
>
> Mein Problem ist es nun, eine partikuläre Lösung zu
> finden.
>
> Mir ist bekannt, daß man je nach Typ der Störfunktion
> verschiedene Ansätze macht.
>
> Hier lautet die Störfunktion
>
> [mm]g(t)=-\frac{1}{\sin(t)}[/mm].
>
> Hier
> ist eine Tabelle, die verschiedenen Typen von
> Störfunktionen jeweils einen Ansatz zuordnet. Jedoch kann
> ich meine Störfunktion keinem Typ zuordnen...
>
> Kann mir dabei bitte jemand helfen?
Ich würde das Verfahren 'Variation der Konstanten' anwenden. Das führt nebenbei gesagt immer zum Ziel.
Aber löse erstmal die homogene Gleichung richtig.
>
>
> Ganz viele Grüße
>
> mikexx
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Hallo und besten Dank für die Antwort.
Ich habe bei der char. Gleichung einen Fehler gemacht.
Die korrekte allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet:
[mm] $x(t)=C_1\sin(t)+C_2\cos(t), C_1,C_2\in\mathbb{R}$
[/mm]
Jetzt müsste das stimmen, ich habe es nachgerechnet.
So - und wie jetzt Variation der Konstanten.
Ansatz ist also:
[mm] $x(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Hallo und besten Dank für die Antwort.
> Ich habe bei der char. Gleichung einen Fehler gemacht.
>
> Die korrekte allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet:
>
> [mm]x(t)=C_1\sin(t)+C_2\cos(t), C_1,C_2\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Jetzt müsste das stimmen, ich habe es nachgerechnet.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So - und wie jetzt Variation der Konstanten.
>
> Ansatz ist also:
>
> [mm]x(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)[/mm] ?
Genau.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Mit dem Ansatz
[mm] $x(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)$
[/mm]
erhalte ich dann
[mm] $x''(t)\sin(t)+x(t)\sin(t)=\left[C_1'(t)-C_2(t)+C_1(t)\right]\cdot (\sin(t))^2+\left[C_1(t)+C_2'(t)+C_2(t)\right]\cdot\cos(t)\sin(t)=-\frac{1}{\sin(t)}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $[C_1'(t)-C_2(t)+C_1(t)]\cdot (\sin(t))^3+[C_1(t)+C_2'(t)+C_2(t)]\cdot\cos(t) (\sin(t))^2=-1$
[/mm]
Jetzt muss ich ja [mm] $C_1(t)$ [/mm] und [mm] $C_2(t)$ [/mm] so bestimmen, daß diese Gleichung gilt. Jedoch weiß ich da gerade nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Mit dem Ansatz
>
> [mm]x(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)[/mm]
>
> erhalte ich dann
>
> [mm]x''(t)\sin(t)+x(t)\sin(t)=\left[C_1'(t)-C_2(t)+C_1(t)\right]\cdot (\sin(t))^2+\left[C_1(t)+C_2'(t)+C_2(t)\right]\cdot\cos(t)\sin(t)=-\frac{1}{\sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm][C_1'(t)-C_2(t)+C_1(t)]\cdot (\sin(t))^3+[C_1(t)+C_2'(t)+C_2(t)]\cdot\cos(t) (\sin(t))^2=-1[/mm]
hast Du die Forderung: [mm] $c_{1}'(t)\sin t+c_{2}'(t)\cos [/mm] t=0$ verwendet? Damit vereinfacht sich die zweite Ableitung und Du bekommst ein Gleichungssystem für die [mm] $c_i'(t)$.
[/mm]
Schau mal hier.
>
> Jetzt muss ich ja [mm]C_1(t)[/mm] und [mm]C_2(t)[/mm] so bestimmen, daß
> diese Gleichung gilt. Jedoch weiß ich da gerade nicht
> weiter...
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Woher kommt die Forderung
[mm] $C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Woher kommt die Forderung
>
> [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0[/mm]?
Die führt man lediglich ein um die Rechnung zu erleichtern. Es lässt sich bestimmt irendwie zeigen, dass die Bedingung durch geeignete Wahl der Anfangsbedingungen immer erfüllt werden kann.
Gruß,
notinX
PS: Ich sehe gerade - Du bist Mathestudent. Dann wird Dir die Begründung vielleicht nicht ausreichen, deshalb lass ich mal halboffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Danke, denn so ein bisschen fällt das vom Himmel und ich sehe noch nicht, wieso man es einfach fordert bzw. fordern kann.
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Anyhow!
Ich habe dann diese beiden Gleichungen:
I.
[mm] $c_1'(t)\sin(t)+c_2'(t)\cos(t)=0$
[/mm]
II.
[mm] $c_1'(t)\cos(t)-c_2'(t)\sin(t)=-\frac{1}{\sin(t)}$
[/mm]
Dann habe ich mit der Cramerschen Regel heraus:
[mm] $c_1'(t)=-\frac{1}{\tan(t)}$ [/mm] und
[mm] $c_2'(t)=1$.
[/mm]
Wenn ich das integriere, komme ich auf
[mm] $c_1(t)=-\ln(\lvert\sin(t)\rvert)+D$
[/mm]
[mm] $c_2(t)=t+E$
[/mm]
Demnach wäre die partikuläre Lösung
[mm] $x(t)=-\sin(t)\cdot\ln(\lvert\sin(t)\rvert)+t\cos(t)+C, [/mm] C=D+E$
Ich hoffe, ich liege richtig. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Demnach wäre die partikuläre Lösung
>
> [mm]x(t)=-\sin(t)\cdot\ln(\lvert\sin(t)\rvert)+t\cos(t)+C, C=D+E[/mm]
>
> Ich hoffe, ich liege richtig.
>
Ja, sieht gut aus. Aber die Integrationskonstante(n) kannst Du Dir bei der speziellen Lösung sparen, denn in der allgemeinen Lösung kommen schon zwei vor.
>
>
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank!
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Hallo mikexx,
> Woher kommt die Forderung
>
> [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0[/mm]?
Überführe die gegebene DGL 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung und
wende darauf die Variation der Konstanten an.
Dann stellst Du fest, dass obige Gleichung immer gelten muss.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
> Hallo mikexx,
>
> > Woher kommt die Forderung
> >
> > [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
>
>
> Überführe die gegebene DGL 2. Ordnung
> in ein System von DGLn 1. Ordnung
Okay, da habe ich:
$y_1'=x'$
$y_2'=x-\frac{1}{\sin(t)$
bzw. in der Matrixschreibweise
$y'=Ay+b, A=\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x'\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{\sin(t)}\end{pmatrix}$
> und wende darauf die Variation der Konstanten an.
> Dann stellst Du fest, dass obige Gleichung immer gelten
> muss.
Okay, dafür muss ich doch erstmal die allgemeine Lösung des homogenen Systems ermitteln, da habe ich:
$\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\exp(it)\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}+C_2\cdot\exp(-it)\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$
bzw. mit der Eulerformel
$\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}-i\cos(t)+\sin(t)\\\cos(t)+i\sin(t)\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}i\cos(t)+\sin(t)\\\cos(t)-i\sin(t)\end{pmatrix}$
Und wie meinst Du jetzt weiter?
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Hallo mikexx,
> > Hallo mikexx,
> >
> > > Woher kommt die Forderung
> > >
> > > [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0[/mm]?
> >
> >
> > Überführe die gegebene DGL 2. Ordnung
> > in ein System von DGLn 1. Ordnung
>
> Okay, da habe ich:
>
> [mm]y_1'=x'[/mm]
>
> [mm]y_2'=x-\frac{1}{\sin(t)[/mm]
>
> bzw. in der Matrixschreibweise
>
> [mm]y'=Ay+b, A=\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x'\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{\sin(t)}\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> > und wende darauf die Variation der Konstanten an.
> > Dann stellst Du fest, dass obige Gleichung immer gelten
> > muss.
>
> Okay, dafür muss ich doch erstmal die allgemeine Lösung
> des homogenen Systems ermitteln, da habe ich:
>
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\exp(it)\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}+C_2\cdot\exp(-it)\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}[/mm]
>
> bzw. mit der Eulerformel
>
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}-i\cos(t)+\sin(t)\\\cos(t)+i\sin(t)\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}i\cos(t)+\sin(t)\\\cos(t)-i\sin(t)\end{pmatrix}[/mm]
>
> Und wie meinst Du jetzt weiter?
>
Wähle zunächst, [mm]C_2=\overline{C_1}[/mm],
damit Du eine reelle Lösung erhältst.
Mache dann zusätzlich die Konstanten von t abhängig.
Setze dies dann in das DGL-System ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Mir ist nicht ganz klar, wieso man [mm] $C_2=\overline{C_1}$ [/mm] nimmt bzw. wieso man dadurch eine reelle Lösung erhält bzw. wieso dies nötig ist.
Aber ich mache es und erhalte als allgemeine Lösung des homogenen Systems
[mm] $\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}+C_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(t)\\-\sin(t)\end{pmatrix}$.
[/mm]
Dann mache ich also den Ansatz:
[mm] $y_1(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)$
[/mm]
[mm] $y_2(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)$
[/mm]
und setze dies in die DGLn des Systems ein:
[mm] $x'(t)=y_1'(t)=C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)$
[/mm]
[mm] $x(t)-\frac{1}{\sin(t)}=y_2'(t)=C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)$
[/mm]
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Hallo mikexx,
> Mir ist nicht ganz klar, wieso man [mm]C_2=\overline{C_1}[/mm] nimmt
> bzw. wieso man dadurch eine reelle Lösung erhält bzw.
> wieso dies nötig ist.
>
Setze für [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] beliebige komplexe Zahlen ein.
Und leite dann eine Bedingung her, wann die Lösung reell ist.
> Aber ich mache es und erhalte als allgemeine Lösung des
> homogenen Systems
>
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}+C_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(t)\\-\sin(t)\end{pmatrix}[/mm].
>
> Dann mache ich also den Ansatz:
>
> [mm]y_1(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)[/mm]
>
> [mm]y_2(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
>
> und setze dies in die DGLn des Systems ein:
>
> [mm]x'(t)=y_1'(t)=C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
>
> [mm]x(t)-\frac{1}{\sin(t)}=y_2'(t)=C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)[/mm]
Das ist nicht vollständig.
Das muss Du in das ganze DGL-System einsetzen.
[mm]\pmat{y_{1}'\left(t\right) \\ y_{2}'\left(t\right)}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}+\pmat{0 \\ -\bruch{1}{\sin\left(t\right)}}}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
> Hallo mikexx,
>
> > Mir ist nicht ganz klar, wieso man [mm]C_2=\overline{C_1}[/mm] nimmt
> > bzw. wieso man dadurch eine reelle Lösung erhält bzw.
> > wieso dies nötig ist.
> >
>
>
> Setze für [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] beliebige komplexe Zahlen ein.
> Und leite dann eine Bedingung her, wann die Lösung reell
> ist.
Warum muss sie denn reell sein?
> > Aber ich mache es und erhalte als allgemeine Lösung des
> > homogenen Systems
> >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}+C_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(t)\\-\sin(t)\end{pmatrix}[/mm].
> >
> > Dann mache ich also den Ansatz:
> >
> > [mm]y_1(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)[/mm]
> >
> > [mm]y_2(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
> >
> > und setze dies in die DGLn des Systems ein:
> >
> >
> [mm]x'(t)=y_1'(t)=C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
> >
> >
> [mm]x(t)-\frac{1}{\sin(t)}=y_2'(t)=C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)[/mm]
>
>
> Das ist nicht vollständig.
>
> Das muss Du in das ganze DGL-System einsetzen.
>
> [mm]\pmat{y_{1}'\left(t\right) \\ y_{2}'\left(t\right)}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}+\pmat{0 \\ -\bruch{1}{\sin\left(t\right)}}}[/mm]
Dann ergeben sich folgenden Gleichungen:
I.
[mm] $C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0$
[/mm]
(Hierauf bezog sich ja meine Frage bzw. das war ja die Forderung, nach deren Herkunft ich gefragt hatte.)
II.
[mm] $C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)=-C_1(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)-\frac{1}{\sin(t)}$
[/mm]
Und ab hier geht es weiter wie schon durchgeführt?
(Also wieder ein Gleichungssystem erhalten, das man dann mit der Cramerschenregel löst?)
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Hallo mikexx,
> > Hallo mikexx,
> >
> > > Mir ist nicht ganz klar, wieso man [mm]C_2=\overline{C_1}[/mm] nimmt
> > > bzw. wieso man dadurch eine reelle Lösung erhält bzw.
> > > wieso dies nötig ist.
> > >
> >
> >
> > Setze für [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] beliebige komplexe Zahlen ein.
> > Und leite dann eine Bedingung her, wann die Lösung
> reell
> > ist.
>
> Warum muss sie denn reell sein?
>
Weil wir uns im Bereich der reellen Zahlen bewegen.
>
> > > Aber ich mache es und erhalte als allgemeine Lösung des
> > > homogenen Systems
> > >
> > >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=C_1\cdot\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}+C_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(t)\\-\sin(t)\end{pmatrix}[/mm].
> > >
> > > Dann mache ich also den Ansatz:
> > >
> > > [mm]y_1(t)=C_1(t)\sin(t)+C_2(t)\cos(t)[/mm]
> > >
> > > [mm]y_2(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
> > >
> > > und setze dies in die DGLn des Systems ein:
> > >
> > >
> >
> [mm]x'(t)=y_1'(t)=C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]x(t)-\frac{1}{\sin(t)}=y_2'(t)=C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)[/mm]
> >
> >
> > Das ist nicht vollständig.
> >
> > Das muss Du in das ganze DGL-System einsetzen.
> >
> > [mm]\pmat{y_{1}'\left(t\right) \\ y_{2}'\left(t\right)}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}+\pmat{0 \\ -\bruch{1}{\sin\left(t\right)}}}[/mm]
>
>
> Dann ergeben sich folgenden Gleichungen:
>
> I.
>
> [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_1(t)\cos(t)+C_2'(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)=C_1(t)\cos(t)-C_2(t)\sin(t)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm]C_1'(t)\sin(t)+C_2'(t)\cos(t)=0[/mm]
>
> (Hierauf bezog sich ja meine Frage bzw. das war ja die
> Forderung, nach deren Herkunft ich gefragt hatte.)
>
Jetzt weisst Du woher diese Forderung kommt..
> II.
>
> [mm]C_1'(t)\cos(t)-C_1(t)\sin(t)-C_2'(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)=-C_1(t)\sin(t)-C_2(t)\cos(t)-\frac{1}{\sin(t)}[/mm]
>
>
> Und ab hier geht es weiter wie schon durchgeführt?
>
> (Also wieder ein Gleichungssystem erhalten, das man dann
> mit der Cramerschenregel löst?)
>
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 30.05.2013 | | Autor: | cassi |
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=182465
mikexx ist ein Crossposter. Dies ist nicht das erste Mal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Das muss ein Missverständnis sein!
Ich habe nichts zu diesem Thema dort gepostet. Wenn, würde ich das hier verlinken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Do 30.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Schönen Dank!
vG
mikexx
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