Partielle Integration x/2*e^x: < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 So 30.12.2012 | | Autor: | taco |
| Aufgabe | | $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{x}{2}\cdot{}e^{-x}dx} [/mm] $ |
Hallo Leute.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe als Ansatz die partielle Integration gewählt. Allerdings bin ich mir unsicher ob ich diese richtig anwende und wäre für Hinweise dankbar.
g(x)=x/2
g'(x)=1/2
f(x)=e^-x
f'(x)=-e^-x
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{2}\cdot{}e^{-x}dx}= {\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}\cdot{}-e^{-x}}$
[/mm]
= [mm] {\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}} [/mm] - [mm] {\bruch{1}{2} \integral_{}^{}\cdot{}e^{-x}}
[/mm]
= [mm] {\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}} [/mm] - [mm] {\bruch{1}{2} \cdot{}-e^{-x}}
[/mm]
= [mm] {\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}} [/mm] + [mm] {\bruch{e^{-x}}{2}}
[/mm]
Ist das bis dahin korrekt? Kann man noch vereinfachen? Bekomme beim Integrationsrechner nähmlich ein anderes Ergebnis.
Danke schonmal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 So 30.12.2012 | | Autor: | Walde |
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{x}{2}\cdot{}e^{-x}dx}[/mm]
>
> Hallo Leute.
Hi taco,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe als Ansatz die partielle Integration gewählt.
> Allerdings bin ich mir unsicher ob ich diese richtig
> anwende und wäre für Hinweise dankbar.
>
> g(x)=x/2
> g'(x)=1/2
> f(x)=e^-x
> f'(x)=-e^-x
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{2}\cdot{}e^{-x}dx}= {\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}} - \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}\cdot{}-e^{-x}}[/mm]
>
> = [mm]{\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}}[/mm] - [mm]{\bruch{1}{2} \integral_{}^{}\cdot{}e^{-x}}[/mm]
Wenn du ein "Minus" rausziehst, muss es vor dem Integral "Plus" heißen.
= [mm]{\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}}[/mm] [mm] \red{+}[/mm] [mm]{\bruch{1}{2} \integral_{}^{}\cdot{}e^{-x}}[/mm]
>
> = [mm]{\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}}[/mm] [mm] \red{+}[/mm] [mm]{\bruch{1}{2} \cdot{}-e^{-x}}[/mm]
>
> = [mm]{\bruch{x}{2}\cdot{}-e^{-x}}[/mm] [mm] \red{-}[/mm] [mm]{\bruch{e^{-x}}{2}}[/mm]
>
> Ist das bis dahin korrekt? Kann man noch vereinfachen?
> Bekomme beim Integrationsrechner nähmlich ein anderes
> Ergebnis.
Welches denn?
Man kann zB noch [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-x} [/mm] ausklammern.
>
> Danke schonmal für die Hilfe.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 30.12.2012 | | Autor: | taco |
Ah oke. Auf dem Papier hat ich das mit dem "-" gott sei dank;)....
also habe ich dort:
$ [mm] {\bruch{1}{2}(x\cdot{}-e^{-x}-e^{-x}}) [/mm] $
stehen.
Jetzt setze ich ja die Grenzen ein.
$ [mm] {\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}}) [/mm] $ - $ [mm] {\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}}) [/mm] $
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] {\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}}) [/mm] $ = 0
$ [mm] {\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}}) [/mm] $ = -0,09196
-0,09196 - 0 = -0,09196
hm.... ich glaub das stimmt so nicht...
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Hallo taco,
> Ah oke. Auf dem Papier hat ich das mit dem "-" gott sei
> dank;)....
>
> also habe ich dort:
>
> [mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}-e^{-x}-e^{-x}})[/mm]
>
Das muss doch hier lauten:
[mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}\blue{(}-e^{-x}\blue{)}-e^{-x}})[/mm]
> stehen.
>
> Jetzt setze ich ja die Grenzen ein.
>
> [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] -
> [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] = 0
>
> [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
>
> -0,09196 - 0 = -0,09196
>
> hm.... ich glaub das stimmt so nicht...
Das Ergebnis stimmt auch nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 So 30.12.2012 | | Autor: | taco |
hm verstehe das leider nicht ganz...
> Hallo taco,
>
> > Ah oke. Auf dem Papier hat ich das mit dem "-" gott sei
> > dank;)....
> >
> > also habe ich dort:
> >
> > [mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}-e^{-x}-e^{-x}})[/mm]
> >
>
>
> Das muss doch hier lauten:
>
> [mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}\blue{(}-e^{-x}\blue{)}-e^{-x}})[/mm]
Macht das den nen Unterschied?
>
>
> > stehen.
> >
> > Jetzt setze ich ja die Grenzen ein.
> >
> > [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] -
> > [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm]
> >
> >
> > [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm]
> > [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] = 0
> >
> > [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
[mm] e^{1} [/mm] ist aber schon diese eulersche konstante oder?
> >
> > -0,09196 - 0 = -0,09196
> >
> > hm.... ich glaub das stimmt so nicht...
>
>
> Das Ergebnis stimmt auch nicht.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ich weiß grade mal so garnicht weiter.... sitze wahrscheinlich heute auch schon zu lange an Mathe dran..
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Hallo taco,
> hm verstehe das leider nicht ganz...
>
> > Hallo taco,
> >
> > > Ah oke. Auf dem Papier hat ich das mit dem "-" gott sei
> > > dank;)....
> > >
> > > also habe ich dort:
> > >
> > > [mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}-e^{-x}-e^{-x}})[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das muss doch hier lauten:
> >
> > [mm]{\bruch{1}{2}(x\cdot{}\blue{(}-e^{-x}\blue{)}-e^{-x}})[/mm]
> Macht das den nen Unterschied?
Die Klammern verdeutlichen das Ergebnis der Integration.
> >
> >
> > > stehen.
> > >
> > > Jetzt setze ich ja die Grenzen ein.
> > >
> > > [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] -
> > > [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm]
> > > [mm]{\bruch{1}{2}(y\cdot{}-e^{-y}-e^{-y}})[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
> [mm]e^{1}[/mm] ist aber schon diese eulersche konstante oder?
Ja.
> > >
> > > -0,09196 - 0 = -0,09196
> > >
> > > hm.... ich glaub das stimmt so nicht...
> >
> >
> > Das Ergebnis stimmt auch nicht.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ich weiß grade mal so garnicht weiter.... sitze
> wahrscheinlich heute auch schon zu lange an Mathe dran..
>
Ich weiss nicht, wie Du hier auf
[mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
kommst
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 30.12.2012 | | Autor: | taco |
> Ich weiss nicht, wie Du hier auf
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> [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
>
> kommst
Ich habe:
[mm] {\bruch{1}{2}}(\bruch{1}{-e^{1}}-\bruch{1}{e^{1}}) [/mm] gerechnet.
Also
[mm] {\bruch{1}{-2,71828}} [/mm] - [mm] {\bruch{1}{2,71828}}
[/mm]
und das dann mal
[mm] {\bruch{1}{2}}
[/mm]
hm oke also wie es ausschaut bekomme ich da nun -0,3678 raus....
stimmt den der teil mit lim y-> [mm] \infty?
[/mm]
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Hallo taco,
> > Ich weiss nicht, wie Du hier auf
> >
> > [mm]{\bruch{1}{2}(1\cdot{}-e^{-1}-e^{-1}})[/mm] = -0,09196
> >
> > kommst
>
>
> Ich habe:
> [mm]{\bruch{1}{2}}(\bruch{1}{-e^{1}}-\bruch{1}{e^{1}})[/mm]
> gerechnet.
>
> Also
>
> [mm]{\bruch{1}{-2,71828}}[/mm] - [mm]{\bruch{1}{2,71828}}[/mm]
>
> und das dann mal
>
> [mm]{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> hm oke also wie es ausschaut bekomme ich da nun -0,3678
> raus....
>
Ja, das kommt auch heraus.
> stimmt den der teil mit lim y-> [mm]\infty?[/mm]
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 30.12.2012 | | Autor: | taco |
Vorzeichenfehler....
Vielen Dank an MathePower für deine hilfe.
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