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| Aufgabe | Es seien a,b Konstanten, [mm] a\neq [/mm] b. Weiterhin setze [mm] \lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, [/mm] dabei ist f eine stetig differenzierbare Funktion auf [mm] \mathbb{R}. [/mm]
Wir definieren eine Funktion [mm] E(a,b):=-\lambda(U(b)-U(a))+F(b)-F(a) [/mm] für beliebige stetig diffbare Funktionen U und F mit U'f'=F'.
Dann gilt [mm] E(a,b)=\int_{a}^{b}U'(v)(-\lambda+f'(v))dv=-\int_{a}^{b}U''(v)(-\lambda(v-a)+f(v)-f(b))dv.
[/mm]
Verifizieren Sie das zweite Gleichheitszeichen. |
Hallo,
also das erste Gleichheitszeichen sieht man ja sofort, wenn man den Integranden ausmultipliziert und benutzt, dass U'f'=F' ist.
Aber auf das zweite = komme ich einfach nicht. Man scheint wohl irgendwie partiell integrieren zu müssen. Zumindest sieht man ja, dass
[mm] (-\lambda(v-a)+f(v)-f(b)) [/mm] abgeleitet wieder [mm] -\lambda+f'(v) [/mm] ergibt, demnach wäre [mm] -\int_{a}^{b}U''(v)(-\lambda(v-a)+f(v)-f(b))dv [/mm] sowas wie der Integralteil bei der Formel für die partielle Integration und der Randteil müsste irgendwie wegfallen. Ich kann das aber irgendwie nicht sehen. Man muss wohl das [mm] \lambda [/mm] von oben einsetzen, aber selbst das hat bei mir noch nicht geklappt. Ich komme immer nur zu [mm] \int_{a}^{b}U'(v)(-\lambda+f'(v))dv=-\lambda\int_{a}^{b}U'(v)+\int_{a}^{b}U'(v)f'(v))=-\lambda(U(b)-U(a))-\int_{a}^{b}U''(v)f(v)dv+[f(v)U'(v)]_{a}^{b}. [/mm] Die letzte Klammer kann man noch ausschreiben, aber das hat mich noch nicht zu dem geforderten gebracht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Di 16.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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