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| Aufgabe | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und den Grundintegralen der Vorlesung das bestimmte Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{2x} * cos(4x) dx} [/mm] |
Hi,
mit der Aufgabe habe ich einige Probleme. Folgenden Ansatz habe ich gewaehlt:
Partielle Integration:
f = cos(4x); g' = [mm] e^{2x}; [/mm] f' = 4 * (-sin(4x)); g = (Durch Substitution) [mm] \bruch{1}{2} e^{2x}
[/mm]
Also los gehts:
cos(4x) * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] |(Von 0 bis [mm] \pi) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{4 * (-sin(4x)) * \bruch{1}{2} e^{2x} dx}
[/mm]
So jetzt kann man natuerlich aus dem Integral die ganzen Faktoren rausziehen damits huebscher wird, allerdings bleibt immernoch das Produkt innerhalb der Integration bestehen!
Problem an der Sache ist: Wenn man diese mit partieller Integration ausrechnen will, kann man ein leben lang daran rumfummeln - Youll end up running in circles.
Kann man den sin(4x) bzw. cos(4x) irgendwie durch die Exponentialfunktion ausdruecken, so dass man das Integral irgendwie geloest kriegt?
Ich finde hierbei keinen wirklichen Ansatz.
Waere nett, wenn mir jemand helfen koennte :).
MFG Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tim!
Du musst ein 2. Mal partielle Integration anwenden, so dass Du auch auf der rechten Seite wiederum das Ausgangsintegral (mit Vorfaktor) erhältst. Dann kannst Du diesen Term auf die linke Seite der Gleichung bringen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 09.02.2009 | | Autor: | evilmaker |
Ahhh stimmt!
Danke :)!
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Eine Frage habe ich allerdings noch, nach viel rumrechnerei kommt man auf dieses Ergebnis:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(4x)* dx} [/mm] = cos(4x) * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] e^{2*x} [/mm] | (Von 0 bis [mm] \pi) [/mm] + 2 * !!!Und hier faengt das Ergebnis der zweiten Partiellen Integration an!!! (sin(4x) * [mm] \bruch{1}{2}*e^{2*x} [/mm] | (Von 0 bis [mm] \pi) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{4*cos(4x) * \bruch{1}{2} * x^{2*x} dx})
[/mm]
Da ich die + 2 * vor der zweiten partiellen Integration als Vorfaktor rausgeschrieben habe, muss ich doch eine Klammer um das Ergebnis der 2. partiellen Integration schreiben, oder? Somit muesste ich den ersten Term und das Integral mit "2" multiplizieren?!
In der Musterloesung wurde allerdings nur der erste Term multipliziert und das Integral nicht. Dort wurde dann einfach die 4 * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus dem Integral nach vorne gezogen und KEINE Klammer um die zweite Partielle Integration gezogen, obwohl da doch der Vorfaktor 2 * steht.
Wer hat denn nun recht ;)? Ich wuerde ganz klar sagen: Jeder Summand muss definitiv mit 2 * genommen werden, damit es stimmt. Das aendert das ganze Ergebnis naemlich. Bei der 1. Loesung muss ich alles "durch 3" rechnen, bei meinem Ergebnis "durch 4".
Waere nett, wenn sich jemand die Muehe machen wuerde meine Gedanken hier nachzuvollziehen. Ist ein bischen schwierig aufzuschreiben.
Vielen herzlichen Dank!
MFG Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
Hallo Tim,
ich hoffe ich kann dir ein klein wenig weiterhelfen....
Habe mir die Mühe gemacht und folgendes berechnet:
[mm] \integral{e^{2x}cos(4x)dx}=\bruch{1}{10}e^{2x}cos(4x)+\bruch{1}{5}e^{2x}sin(4x)
[/mm]
Richtigkeit leicht nachzuprüfen durch Bilden der Ableitung.
Gruß Glie
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Hallo reverend,
die Frage ist wegen des  nicht ernst gemeint, oder?
Das Biest ist doch ratzfatz 2mal partiell integriert ... auch zu später Stunde
Oder nicht?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
zweimal partiell integriert....aber so weit war Tim ja auch schon....
gute alte Handarbeit
gruß Glie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Di 10.02.2009 | | Autor: | Blech |
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{e^{2x} \cdot{} cos(4x)\ dx} =\cos(4x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{4(-\sin(4x)) \bruch{1}{2} e^{2x} dx} [/mm] =$
$= [mm] \cos(4x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] + [mm] \sin(4x) e^{2x} [/mm] - [mm] 4\integral_{0}^{\pi}{e^{2x} \cdot{} cos(4x)\ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \integral_{0}^{\pi}{e^{2x} \cdot{} cos(4x)\ dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{5}e^{2x}\left(\cos(4x) * \bruch{1}{2} + \sin(4x)\right)$
[/mm]
Und den Bruch hat er (oder sein Programm =P) dann mit 4 erweitert.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Di 10.02.2009 | | Autor: | reverend |
Guten Morgen, Blech, glie und schachuzipus,
danke für die Antworten!
Ja, es war wohl doch schon zu spät gestern. Das hätte ich heute morgen wohl gefunden, denke ich. Der alte Trick mit der zweimaligen partiellen Integration ist mir wohlbekannt, aber gestern abend habe ich immer nur die schon vorliegende Stammfunktion abgeleitet und mich gefragt, wie ich den Weg wohl integrierend rückwärts gegangen wäre.
Liebe Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo reverend,
der Weg durchs Komplexe führt auch schnell zum Ziel:
Betrachte [mm] e^{2x(1+2i)}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Di 10.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
das habe ich zwar gerade schon an anderer Stelle geschrieben, aber auch dies hier ist eine elegante Lösung. Irgendwie habe ich noch zu sehr abgespeichert, dass der Übergang ins Komplexe Dinge mühsamer macht, obwohl ich vernunftmäßig weiß, dass das nicht immer stimmt - so auch hier.
Danke für den Hinweis!
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> das habe ich zwar gerade schon an anderer Stelle
> geschrieben, aber auch dies hier ist eine elegante Lösung.
> Irgendwie habe ich noch zu sehr abgespeichert, dass der
> Übergang ins Komplexe Dinge mühsamer macht, obwohl ich
> vernunftmäßig weiß, dass das nicht immer stimmt - so auch
> hier.
>
"Meistens" ist der Weg übers Komplexe der kürzere
Gruß FRED
> Danke für den Hinweis!
>
> Grüße,
> reverend
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Wolfram