Partielle Integration? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{cos(\wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Hallo!
Ich hab es bei dieser Aufgabe mit partieller Integration versucht.Komme aber ab einen bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Könnte mir bitte jemand helfen? Würde mich sehr freuen! 
[mm] v'=\bruch{1}{\wurzel{x}} v=2*\wurzel{x}
[/mm]
[mm] u=cos(\wurzel{x}) u'=-\bruch{1}{2*\wurzel{x}}sin(\wurzel{x})
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{cos(\wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx}=cos(\wurzel{x})*2*\wurzel{x}-\integral{-sin(\wurzel{x}) dx}
[/mm]
Hier weiß ich nicht mehr weiter. Natürlich könnte ich
[mm] \integral{-sin(\wurzel{x}) dx}
[/mm]
nochmal partiell integrieren. Allerdings müsste ich dann [mm] -sin(\wurzel{x}) [/mm] differenzieren und 1 integrieren. Dieses x im Schlussintegral würde ich dann ja nicht mehr wegbekommen, oder?
[mm] \integral{x*\bruch{cos(\wurzel{x})}{2*\wurzel{x}} dx}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
partielle Integration bringt wohl nichts
probiere es mit der Substitution [mm] \wurzel{x}=u [/mm] !
|
|
|
| |
|
Hallo Al-Chwarizmi!
Wenn ich [mm] \wurzel{x} [/mm] substituiere bekomme ich doch auch:
[mm]\integral{sin(z)*\bruch{dx}{2*\wurzel{x} }}[/mm]
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x} } [/mm] kürzt sich aber nicht weg, oder?
LG
Angelika
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Wenn ich [mm]\wurzel{x}[/mm] substituiere bekomme ich doch auch:
>
> [mm]\integral{sin(z)*\bruch{dx}{2*\wurzel{x} }}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit [mm] $z:=\sqrt{x}$ [/mm] ist doch [mm] $z'=\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, [/mm] also [mm] $dx=2\sqrt{x} [/mm] \ dz$
Wenn du das einsetzt, kürzt es sich also doch raus 
>
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x} }[/mm] kürzt sich aber nicht weg, oder?
>
> LG
>
> Angelika
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke schachuzipus!
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
Aber auch wenn ich das umstelle: [mm] \integral{sin(z)*2*\wurzel{x} dz}, [/mm] kürzt sich das nicht weg, oder?
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
nochmal zum Mitschreiben
Du hast $\int{\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \ dx}$
Substitution $\green{z:=\sqrt{x}}\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow \red{dx=2\sqrt{x} \ dz$
Damit ist doch $\int{\frac{\cos(\green{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}} \ \red{dx}}=\int{\frac{\cos(\green{z})}{\sqrt{x}} \ \red{2\sqrt{x} \ dz}}=2\int{\cos(z) \ dz}$
Nun du wieder...
Am Schluss das Resubstituieren nicht vergessen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Schachuzipus!
Danke für die Version zum mitschreiben!
Deine Überlegung mit der Substitution von Anfang an habe ich schon verstanden!Danke für die Idee! Nur wie Al-Chawarizmi vorgeschlagen hat: [mm] \integral{sin(\wurzel{x}) dx} [/mm] , das noch zu integrierende Überbleibsel der partiellen Integration nochmal zu substituieren geht glaub ich nicht, weil sich nichts wegkürzt.
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
oh, das war sicher ein Mißverständnis.
Al Ch. meinte ganz sicher auch, dass du das Ausgangsintegral mit der angegebenen Substitution angehen solltest
Aber nun ist es ja geklärt ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Angelika,
> [mm]\integral{\bruch{cos(\wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich hab es bei dieser Aufgabe mit partieller Integration
> versucht.Komme aber ab einen bestimmten Punkt nicht mehr
> weiter. Könnte mir bitte jemand helfen? Würde mich sehr
> freuen!
>
> [mm]v'=\bruch{1}{\wurzel{x}} v=2*\wurzel{x}[/mm]
>
> [mm]u=cos(\wurzel{x}) u'=-\bruch{1}{2*\wurzel{x}}sin(\wurzel{x})[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{cos(\wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx}=cos(\wurzel{x})*2*\wurzel{x}-\integral{-sin(\wurzel{x}) dx}[/mm]
>
> Hier weiß ich nicht mehr weiter. Natürlich könnte ich
>
> [mm]\integral{-sin(\wurzel{x}) dx}[/mm]
>
> nochmal partiell integrieren. Allerdings müsste ich dann
> [mm]-sin(\wurzel{x})[/mm] differenzieren und 1 integrieren. Dieses
> x im Schlussintegral würde ich dann ja nicht mehr
> wegbekommen, oder?
>
> [mm]\integral{x*\bruch{cos(\wurzel{x})}{2*\wurzel{x}} dx}[/mm]
Ja, das stimmt alles, was du sagst, ich sehe da im Moment auch keinen einfachen Weg, das [mm] $\int{\sin(\sqrt{x}) \ dx}$ [/mm] zu berechnen
Ich würde dir empfehlen, direkt beim Ausgangsintegral statt mit partieller Integration mit ner Substitution zuzubeißen.
Probiere mal [mm] $u:=\sqrt{x}$ [/mm] ...
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich bin deinem Rat gefolgt aber ich komme wieder in eine schwierige Situation:
[mm] z'=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{cos(z)}{z}*\bruch{dx}{2*\wurzel{x}}}
[/mm]
Mache ich alles richtig? Es müsste sich für eine erfolgreiche Substitution
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] doch wegkürzen, oder?
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
Hi,
siehe andere Antwort:
> Hallo schachuzipus!
>
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> Ich bin deinem Rat gefolgt aber ich komme wieder in eine
> schwierige Situation:
>
> [mm]z'=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}=\bruch{dz}{dx}[/mm]
stelle nach $dx=... $ um...
>
> [mm]\integral{\bruch{cos(z)}{z}*\bruch{dx}{2*\wurzel{x}}}[/mm]
>
>
> Mache ich alles richtig? Es müsste sich für eine
> erfolgreiche Substitution
>
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm] doch wegkürzen, oder?
Das tut es auch, wenn du nach $dx=...$ umstellst
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
|
|
|
|
