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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Diffbarkeit prüfen
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Partielle Diffbarkeit prüfen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mo 02.06.2014
Autor: Calculu

Aufgabe
An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}} [/mm] partiell diffbar. Berechne dort die Ableitung.


Die Funktion f ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:

Die partiellen Ableitungen lauten:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}} [/mm] für [mm] \IR \setminus [/mm] {0}
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] =  [mm] \bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}} [/mm] für  [mm] \IR \setminus [/mm] {0}.
Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0 )betrachten. Hierzu wähle ich  [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und erhalte:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n}) [/mm] = 0 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n}) [/mm] = 0

Reicht das schon?

        
Bezug
Partielle Diffbarkeit prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 02.06.2014
Autor: fred97


> An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> Berechne dort die Ableitung.
>  
> Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
>  Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
>  
> Die partiellen Ableitungen lauten:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> {0}

Das stimmt nicht.

Es ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}} [/mm]   für (x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm]


>  und
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =  
> [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für  [mm]\IR \setminus[/mm]
> {0}.

Das ist richtig, wenn Du [mm] y^2 [/mm] statt [mm] y^y [/mm] schreibst und am Ende " .....  für (x,y) $ [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm] $"


>  Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0
> )betrachten.


Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !

Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm] \bruch{\partial f}{\partial x } [/mm]  ( bzw.  [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }) [/mm]  in (0,0) stetig ist.

Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen  [mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0) [/mm]  ( bzw.  [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0) [/mm] noch gar nicht.

Es ist  [mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}, [/mm] falls dieser Limes existiert

und  [mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}, [/mm] falls dieser Limes existiert

FRED



> Hierzu wähle ich  [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> = 0 und
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> = 0
>  
> Reicht das schon?


Bezug
                
Bezug
Partielle Diffbarkeit prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mo 02.06.2014
Autor: Calculu


> > An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> > (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> > Berechne dort die Ableitung.
>  >  
> > Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> > differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
>  >  Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
>  >  
> > Die partiellen Ableitungen lauten:
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> > [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > {0}
>  
> Das stimmt nicht.
>  
> Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}}[/mm]
>   für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\}[/mm]

Ja, natürlich. So hatte ich es auch auf meinem Blatt, hab falsch abgetippt.

>
> >  und

>  >  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =  
> > [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für  [mm]\IR \setminus[/mm]
> > {0}.
>  
> Das ist richtig, wenn Du [mm]y^2[/mm] statt [mm]y^y[/mm] schreibst und am
> Ende " .....  für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm]"

Ja natürlich. Das war schlampig.

>
> >  Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0

> > )betrachten.
>
>
> Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !
>  
> Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }[/mm]
>  ( bzw.  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y })[/mm]  in (0,0) stetig
> ist.

Ok, das wusste ich nicht.

> Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)[/mm]
>  ( bzw.  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)[/mm] noch gar
> nicht.
>  
> Es ist  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h},[/mm]
> falls dieser Limes existiert


[mm] \bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h\wurzel{h^{2}+0}-0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} [/mm] h = 0


> und  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h},[/mm]


[mm] \bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{0-0}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} [/mm] 0 = 0
Also existieren beide Grenzwerte und die Funktion ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] differenzierbar.



Richtig so?

> falls dieser Limes existiert
>  
> FRED
>  
>
>
> > Hierzu wähle ich  [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> > [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
>  >  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > = 0 und
>  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > = 0
>  >  
> > Reicht das schon?
>  


Bezug
                        
Bezug
Partielle Diffbarkeit prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Mo 02.06.2014
Autor: fred97


> > > An welchen Stellen ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm]
> > > (x,y) [mm]\mapsto x\wurzel{x^{2}+2y^{2}}[/mm] partiell diffbar.
> > > Berechne dort die Ableitung.
>  >  >  
> > > Die Funktion f ist auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell
> > > differenzierbar. Aber wie genau zeige ich das?
>  >  >  Was ich bis jetzt gemacht habe ist folgendes:
>  >  >  
> > > Die partiellen Ableitungen lauten:
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] =
> > > [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für [mm]\IR \setminus[/mm]
> > > {0}
>  >  
> > Das stimmt nicht.
>  >  
> > Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\wurzel{x^{2}+2y^{2}}+\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+2y^{2}}}[/mm]
> >   für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\}[/mm]

>  
> Ja, natürlich. So hatte ich es auch auf meinem Blatt, hab
> falsch abgetippt.
> >
> > >  und

>  >  >  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] =  
> > > [mm]\bruch{2xy}{\wurzel{x^{2}+2y^{y}}}[/mm] für  [mm]\IR \setminus[/mm]
> > > {0}.
>  >  
> > Das ist richtig, wenn Du [mm]y^2[/mm] statt [mm]y^y[/mm] schreibst und am
> > Ende " .....  für (x,y) [mm]\in \IR^2 \setminus \{(0,0\} [/mm]"
>  
> Ja natürlich. Das war schlampig.
>  >

> > >  Für x=y=0 müssen wir den Grenzwert (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0

> > > )betrachten.
> >
> >
> > Nein. Das musst Du nicht, gefährlich ist es auch !
>  >  
> > Das funktioniert nur, wenn Du weisst dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }[/mm]
> >  ( bzw.  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y })[/mm]  in (0,0) stetig

> > ist.
>  Ok, das wusste ich nicht.
>  
> > Das wiisen wir aber nicht, denn wir kennen  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)[/mm]
> >  ( bzw.  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)[/mm] noch gar

> > nicht.
>  >  
> > Es ist  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h},[/mm]
> > falls dieser Limes existiert
>  
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h\wurzel{h^{2}+0}-0}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h \rightarrow 0}[/mm] h = 0

Aufgepasst: es ist [mm] \wurzel{h^{2}}=|h| [/mm]


>  
>
> > und  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h},[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y }(0,0)=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{0-0}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h \rightarrow 0}[/mm] 0 = 0
>  Also existieren beide Grenzwerte und die Funktion ist auf
> ganz [mm]\IR^{2}[/mm] differenzierbar.
>  
>
>
> Richtig so?

Ja

FRED

>  
> > falls dieser Limes existiert
>  >  
> > FRED
>  >  
> >
> >
> > > Hierzu wähle ich  [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> > > [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und erhalte:
>  >  >  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial x}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > > = 0 und
>  >  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\partial f}{\partial y}(x_{n},y_{n})[/mm]
> > > = 0
>  >  >  
> > > Reicht das schon?
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Partielle Diffbarkeit prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Mo 02.06.2014
Autor: Calculu

Vielen Dank Fred !!!

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