Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für z = [mm] f(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] ist (unter den nötigen Vorraussetzungen)
[mm] x*\bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] - [mm] y*\bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] = 0 |
Hallo!
Als nötige Vorraussetzung fordere ich, dass f partiell differenzierbar ist, und erhalte
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)*2x
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)*2y
[/mm]
Dann ist
[mm] x*\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)*2y [/mm] - [mm] y*\bruch{\partial f}{\partial x}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)*2x [/mm] = [mm] 2xy(\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] - [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x^2 [/mm] + [mm] y^2))
[/mm]
Wenn ich jetzt als weitere Vorraussetzung fordere, dass
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
bin ich fertig.
Ist das so richtig?
Oder habe ich irgendwo was übersehen/einen Fehler gemacht?
Mit freundlichen Grüßen,
Benjamin
|
|
| |
|
Hallo Benjamin_hat_keinen_Nickname ,
> Für z = [mm]f(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] ist (unter den nötigen
> Vorraussetzungen)
>
> [mm]x*\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] - [mm]y*\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm]
> = 0
> Hallo!
>
> Als nötige Vorraussetzung fordere ich, dass f partiell
> differenzierbar ist, und erhalte
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x^2[/mm]
> + [mm]y^2)*2x[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2[/mm]
> + [mm]y^2)*2y[/mm]
Zunächst ist z eine verkettete Funktion
[mm]z\left(x,y\right)=f\left(\ u\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
,wobei [mm]u\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm]
Dann schreiben sich die partiellen Ableitungen nach x bzw. y
mit Hilfe der Kettenregel:
[mm]\bruch{\partial z}{\partial x} = \bruch{\partial f}{\partial x}(x^2 + y^2)=\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial z}{\partial y} = \bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 + y^2)=\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm]
Dies jetzt in die Gleichung
[mm]x*\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] - [mm]y*\bruch{\partial z}{\partial x}=0[/mm]
einsetzen.
>
> Dann ist
>
> [mm]x*\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2[/mm] + [mm]y^2)*2y[/mm] -
> [mm]y*\bruch{\partial f}{\partial x}(x^2[/mm] + [mm]y^2)*2x[/mm] =
> [mm]2xy(\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] -
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x^2[/mm] + [mm]y^2))[/mm]
>
> Wenn ich jetzt als weitere Vorraussetzung fordere, dass
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x^2[/mm]
> + [mm]y^2)[/mm]
>
> bin ich fertig.
Das brauchst Du gar nicht fordern (siehe oben),
>
> Ist das so richtig?
> Oder habe ich irgendwo was übersehen/einen Fehler
> gemacht?
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Benjamin
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
Leider weiss ich immer noch nicht so richtig wie ich die Aufgabe jetzt lösen
kann.
Warum gilt
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] ?
Nach der Kettenregel muss ich doch die "Ableitung von f nach x an der Stelle u(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2" [/mm] mit der "Ableitung von u nach x an der Stelle (x, y)" multiplizieren.
Wäre das dann nicht
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(u(x,y))\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y) [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo Benjamin_hat_keinen_Nickname ,
> Hallo,
>
> vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
> Leider weiss ich immer noch nicht so richtig wie ich die
> Aufgabe jetzt lösen
> kann.
>
> Warum gilt
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm]
> ?
>
> Nach der Kettenregel muss ich doch die "Ableitung von f
> nach x an der Stelle u(x,y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2"[/mm] mit der "Ableitung
> von u nach x an der Stelle (x, y)" multiplizieren.
>
> Wäre das dann nicht
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(u(x,y))\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)[/mm]
> ?
Hier meinst Du sicher: [mm]\bruch{\partial f}{\partial \blue{u}}(u(x,y))\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)[/mm]
Das ist die korrekte Schreibweise.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hier meinst Du sicher: [mm]\bruch{\partial f}{\partial \blue{u}}(u(x,y))\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)[/mm]
>
> Das ist die korrekte Schreibweise.
Ah, ich glaub jetzt versteh ichs.
Den Ausdruck u(x, y) fassen wir als eine Variable auf, nach der abgeleitet wird.
Deshalt steht da [mm] \bruch{\partial f}{\partial \blue{u}}, [/mm] also f abgeleitet nach u.
Jetzt hab ich leider noch eine ganz dumme Frage ^^
Du schreibst
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)=\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm]
Warum steht im letzten Term kein Argument mehr?
Steckt das jetzt in dem u drin?
Vielen Dank!
Benjamin
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Hier meinst Du sicher: [mm]\bruch{\partial f}{\partial \blue{u}}(u(x,y))\bruch{\partial u}{\partial x}(x,y)[/mm]
> >
> > Das ist die korrekte Schreibweise.
>
> Ah, ich glaub jetzt versteh ichs.
> Den Ausdruck u(x, y) fassen wir als eine Variable auf,
> nach der abgeleitet wird.
> Deshalt steht da [mm]\bruch{\partial f}{\partial \blue{u}},[/mm]
> also f abgeleitet nach u.
Genau, das ist der Sinn der Kettenregel.
> Du schreibst
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x^2[/mm]
> + [mm]y^2)=\bruch{\partial f}{\partial u}\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm]
>
> Warum steht im letzten Term kein Argument mehr?
> Steckt das jetzt in dem u drin?
Das ist die Kurzschreibweise. Wenn klar ist, welche Argumente gemeint sind, schreibt man das oft nicht mehr hin. Es ist zugegebermaßen etwas ungenau, aber für die Aufgabe hier nicht schlimm.
"Korrekt" müsste man natürlich schreiben:
[mm] $\bruch{\partial z}{\partial y}\red{(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)=\bruch{\partial f}{\partial u}\red{(u(x,y))}*\bruch{\partial u}{\partial y}\red{(x,y)}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Super!
Vielen Dank, jetzt ist mir alles klar!
|
|
|
|
