Partielle Ableitungen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Do 05.06.2008 | | Autor: | marta |
Hallo alle
Kann jemand mir hilfen?wie kann ich nach x,y ableiten?
Sei [mm] f:\IR^{2}\Rightarrow\IR f((x,y):=(x^{2}+y^{2})sin\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und
f(0,0):=0 Man zeige,
dass f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] stetig ist und ¨uberall partielle Ableitungen nach x und nach y besitzt, die im
Nullpunkt nicht stetig sind. Ferner zeige man, dass f im Nullpunkt differenzierbar ist und berechne Df(0,0)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Do 05.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
partiell leitet man eine Funktion nach x oder y ab, indem man folgendes macht:
Sei z.B f(x,y)=x*y
Dann ist [mm] \frac{\partial f}{\partial x}=y
[/mm]
Man sieht also alle anderen Koordianten, hier also das y als Konstant an, und leitet dann wie gewohnt aus der Schule nach x ab.
D.h. die partiellen Ableitungen deiner Funktion berechnest du dann so, indem du, wenn du nach x ableitest, y konstant hälst und anders herum.
Damit du dann aber df berechnen kannst, brauchst du die Funktionalmatrix.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 05.06.2008 | | Autor: | marta |
hi
ja das verstehe ich sin [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] wie wird es?
[mm] f_{x}= (2x+y^{2})*cos\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] so soll sein?
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> hi
> ja das verstehe ich sin [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] wie
> wird es?
> [mm]f_{x}= (2x+y^{2})*cos\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] so
> soll sein?
Hallo marta,
diese Ableitung stimmt so nicht.
Du könntest ev. zuerst die Funktion so darstellen:
[mm]\ f(x,y) = (x^2+y^2)*sin \left(\left(x^2+y^2)^{-\bruch{1}{2}}\right)\right)[/mm]
und dann ableiten (inkl. Produktregel und zweimal Kettenregel)
Einmal abgesehen vom Ableiten: Man könnte die Funktion
wegen ihrer Rotationssymmetrie mittels Zylinderkoordinaten
einfacher schreiben:
[mm]\ f(r,\varphi) = r^2*sin(1/r)[/mm]
(dabei ist [mm]\ r=\wurzel{x^2+y^2} ) [/mm]
Hier sind die partiellen Ableitungen (also [mm] f_r [/mm] und [mm] f_\varphi [/mm] )
viel einfacher zu bestimmen. Allerdings sind ja am Ende doch
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] gefragt - aber es gibt natürlich Umrechnungsformeln...
Gruß al-Chwarizmi
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