Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 03.12.2005 | | Autor: | junkx |
ich habe diese frage in keinem andern forum gestellt
hi
ich habe folgende aufgabe vor mir liegen, finde aber absolut keinen ansatz:
Sei f: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion für die es ein m [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass f(tx) = [mm] t^{m}f(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und für alle t [mm] \in \IR [/mm] gilt. Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_{j} \bruch{ \partial f}{ \partial x_{j}}(x) [/mm] = mf(x)
das einzige was mir aufgefallen ist, war das die summe die richtungsableitung von f nach x ist. am meisten macht mir kopfzerbrechen das ich ohne eine konkrete funktionsvorschrift aus der bedingung f(tx) etwas rauslesen soll... als tipp wurde genannt die kettenregel zu benutzen aber da hat man eine summe in der nicht [mm] x_{j}*... [/mm] steht sondern die ableitung einer eindimensionalen funktion...
wäre echt froh wenn mir da jemand helfen kann. danke im vorraus
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Hallo junkx,
bei solchen aufgaben empfiehlt es sich, genau bei den voraussetzungen anzufangen, also
[mm] $f(tx)=t^m\cdot [/mm] f(x)$
außerdem hast du schon erkannt, dass in der zu beweisenden formel eine richtungsableitung vorkommt, also bietet sich ja ableiten an. ableiten nach t liefert
[mm] $x\cdot \nabla f(tx)=mt^{m-1}f(x)$
[/mm]
hierbei haben wir links die kettenregel verwendet. jetzt sind wir aber schon fast am ziel. setzen wir nun $t=1$, dann folgt:
[mm] $x\cdot \nabla f(x)=m\cdot [/mm] f(x)$
q.e.d.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 So 04.12.2005 | | Autor: | junkx |
Hi danke erstmal für die antwort
jetzt bleibt nur die frage wie die kettenregel funktioniert. du hast das sehr abgekürzt.
braucht man für die ketten regel nicht 2 funktionen?! ich verstehe auch nicht wie ich f(tx) nach t ableiten kann?!
nachtrag: außerdem hast du geschrieben t=1 setzen aber in der vorraussetzung steht es soll für alle reellen zahlen t gelten.
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Hallo junkx,
> Hi danke erstmal für die antwort
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> jetzt bleibt nur die frage wie die kettenregel
> funktioniert. du hast das sehr abgekürzt.
> braucht man für die ketten regel nicht 2 funktionen?! ich
> verstehe auch nicht wie ich f(tx) nach t ableiten kann?!
Fasse diese Funkti on als die Verkettung zweier anderer Funktionen auf.
[mm]
f\left( {t\;x} \right)\; = \;f\left( {u\left( t \right)} \right)
[/mm]
Dann kannst Du die Kettenregel anwenden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 04.12.2005 | | Autor: | junkx |
so jetzt nochmal explizit:
sei x = x(s) = [mm] (x_{1}(s) [/mm] , ..., [mm] x_{n}(s)) [/mm] mit s [mm] \in \IN
[/mm]
dann definiere ich g(s) so
g(s) := f(t*x) = f(t*x(s)) = f(t* [mm] x_{1}(s) [/mm] , ..., t* [mm] x_{n}(s))
[/mm]
dann folgt aus der kettenregel (wenn ich sie so richtig verstanden habe):
g'(s) = [mm] f_{x_{1}} [/mm] (t*x(s)) * [mm] (t*x_{1}(s))' [/mm] + ... + [mm] f_{x_{n}} [/mm] (t*x(s)) * [mm] (t*x_{n}(s))'
[/mm]
= [mm] f_{x_{1}} [/mm] (t*x(s)) * [mm] x_{1}(s) [/mm] + ... + [mm] f_{x_{n}} [/mm] (t*x(s)) * [mm] x_{n}(s) [/mm]
und für t=1 steht die linke seite der formel da die ich zeigen soll
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Hallo junkx,
> so jetzt nochmal explizit:
>
> sei x = x(s) = [mm](x_{1}(s)[/mm] , ..., [mm]x_{n}(s))[/mm] mit s [mm]\in \IN[/mm]
>
> dann definiere ich g(s) so
>
> g(s) := f(t*x) = f(t*x(s)) = f(t* [mm]x_{1}(s)[/mm] , ..., t*
> [mm]x_{n}(s))[/mm]
>
> dann folgt aus der kettenregel (wenn ich sie so richtig
> verstanden habe):
>
> g'(s) = [mm]f_{x_{1}}[/mm] (t*x(s)) * [mm](t*x_{1}(s))'[/mm] + ... +
> [mm]f_{x_{n}}[/mm] (t*x(s)) * [mm](t*x_{n}(s))'[/mm]
> = [mm]f_{x_{1}}[/mm] (t*x(s)) * [mm]x_{1}(s)[/mm] + ... + [mm]f_{x_{n}}[/mm]
> (t*x(s)) * [mm]x_{n}(s)[/mm]
>
> und für t=1 steht die linke seite der formel da die ich
> zeigen soll
Das ist auch richtig. Ich denke aber, das sollte doch allgemein für [mm]\[
f\left( {t^m \;x} \right)[/mm] gezeigt werden (siehe Aufgabe am Anfang des Threads).
Gruß
MathePower
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:54 So 04.12.2005 | | Autor: | junkx |
also ich fasse nochmal zusammen:
MatthiasKr hatte den ansastz gebracht das man aussgehen soll von der vorraussetzung:
für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und für alle t [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] f(tx)=t^{m}f(x)
[/mm]
diese gleichung sollte man dann auf beiden seiten nach t ableiten:
linke seite steht in meiner letzten rückfrage
rechte seite ist trivial: [mm] mt^{m-1}f(x)
[/mm]
und wenn man dann noch t=1 setzt steht wohl die gleichung da die man zeigen sollte...
nachtrag: ich glaube ich habe in meiner herleitung der linken seite gerade noch einen fehler entdeckt:
ich hatte sinngemäß geschrieben, dass
[mm] (t*x_{j}(s))' [/mm] = [mm] x_{j}(s)
[/mm]
ist für alle j=1,...,n
aber das stimmt ja wieder nicht da ich ja g(s) nach s ableiten will oder?!
langsam versteh ich gar nichts mehr...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mi 07.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo junkx!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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