Partielle Ableitung/Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f eine differenzierbare Funktion vom Typ [mm]\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm] und sei g eine Funktion vom Typ [mm]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm].
Folgende Doppelungleichung ist gegeben
[mm]
\frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}<\frac{g(y)-g(x)}{y-x}<\frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x}
[/mm]
Jetzt soll y gegen x laufen und die Grenzwerte / (Partiellen) Ableitungen sollen bestimmt werden. |
Hallo zusammen, hier meine Gedanken:
Ich habe zunächst die linke Seite der Doppelungleichung betrachtet. Hier habe ich ja den normalen Differenzenquotienten bzw. die partielle Ableitung.
[mm]
\lim_{y\to x} \frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
[/mm]
Ich benutze also lediglich die Definition des Differenzenquotienten um den Grenzwert zu erhalten.
Wenn ich auf der rechten Seite der Doppelungleichung das selbe stehen hätte, dann würde ich schließen, dass auch die Funktion g differenzierbar ist und
[mm]
\forall z\in\mathbb{R}, g'(z)=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
[/mm]
weil ich die Funktion g sozusagen zwischen den anderen beiden Grenzwerten einquätschen kann.
Aber weil die rechte Seite etwas anders aussieht komme ich nicht wirklich weiter. Ich vermute auch hier
[mm]
\lim_{y\to x} \frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x}=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
[/mm]
Die zweite Koordinate läuft hier ja mit, aber eben gerade y nach x, also passiert nichts schlimmes. Aber mir fehlt der Beweis für die Existenz des Grenzwerts.
Vielen Dank für Eure Tipps.
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=484088
Leider habe ich keine Hilfe erhalten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine differenzierbare Funktion vom Typ
> [mm]\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm] und sei g eine Funktion vom Typ
> [mm]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm].
> Folgende Doppelungleichung ist gegeben
>
> [mm]
\frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}<\frac{g(y)-g(x)}{y-x}<\frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x}
[/mm]
> Jetzt soll y gegen x laufen und die Grenzwerte /
> (Partiellen) Ableitungen sollen bestimmt werden.
> Hallo zusammen, hier meine Gedanken:
>
> Ich habe zunächst die linke Seite der Doppelungleichung
> betrachtet. Hier habe ich ja den normalen
> Differenzenquotienten bzw. die partielle Ableitung.
>
> [mm]
\lim_{y\to x} \frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)[/mm]
Was soll das z ?
Es ist, bei festem x: [mm] \lim_{y\to x} \frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x,x)
[/mm]
>
> Ich benutze also lediglich die Definition des
> Differenzenquotienten um den Grenzwert zu erhalten.
> Wenn ich auf der rechten Seite der Doppelungleichung das
> selbe stehen hätte, dann würde ich schließen, dass auch
> die Funktion g differenzierbar ist und
>
> [mm]
\forall z\in\mathbb{R}, g'(z)=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
Wieder: x statt z
[/mm]
>
> weil ich die Funktion g sozusagen zwischen den anderen
> beiden Grenzwerten einquätschen kann.
> Aber weil die rechte Seite etwas anders aussieht komme ich
> nicht wirklich weiter. Ich vermute auch hier
>
> [mm]
\lim_{y\to x} \frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x}=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
[/mm]
>
> Die zweite Koordinate läuft hier ja mit, aber eben gerade
> y nach x, also passiert nichts schlimmes. Aber mir fehlt
> der Beweis für die Existenz des Grenzwerts.
Bei festem x setze h(y):=f(y,y)-f(x,y). Dann ist h differenzierbar und h(x)=0, also
$ [mm] \frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x}= \frac{h(y)-h(x)}{y-x} \to [/mm] h'(x)$
Nach der Kettenregel ist
$h'(y)= [mm] f_{x_1}(y,y)+ f_{x_2}(y,y)- f_{x_2}(x,y)$
[/mm]
Damit: $h'(x)= [mm] f_{x_1}(x,x)$
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Tipps.
>
> ---
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=484088
> Leider habe ich keine Hilfe erhalten.
> ---
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Hallo Fred,
ich glaube ich habe das nicht klar ausgedrückt,
die Doppelungleichung am Beginn ist gültig für beliebige [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm], wobei [mm]x\neq y[/mm].
Deshalb benutze ich dann später dieses z um zu sagen, weil x,y beliebig waren haben wir insgesamt für alle [mm]z\in\mathbb{R}[/mm]....
Also komme ich mit dem Ansatz, x festzuhalten, nicht weiter denke ich.
Sorry für die Verwirrung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich glaube ich habe das nicht klar ausgedrückt,
>
> die Doppelungleichung am Beginn ist gültig für beliebige
> [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm], wobei [mm]x\neq y[/mm].
>
> Deshalb benutze ich dann später dieses z um zu sagen, weil
> x,y beliebig waren haben wir insgesamt für alle
> [mm]z\in\mathbb{R}[/mm]....
> Also komme ich mit dem Ansatz, x festzuhalten, nicht
> weiter denke ich.
Betrachte den Grenzwert [mm] \lim_{y\to x} \frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}
[/mm]
Da ist doch x fest !
FRED
>
> Sorry für die Verwirrung.
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Hallo Fred,
ok, wenn ich den Grenzwert separat betrachte sehe ich es ein, dass das x fest ist.
Dann kann ich deine Rechnung auch nachvollziehen.
Insgesamt kann ich dann aber doch trotzdem argumentieren, dass das für alle x,y gilt und deshalb
[mm]
\forall z\in\mathbb{R}, g'(z)=\frac{\delta f}{\delta x_1}(z,z)
[/mm]
oder?
Also das z schreibe ich halt lieber um vom [mm]x_1[/mm] zu unterscheiden. Wichtig ist halt, dass das nicht für die bestimmten x,y gilt sondern für bel. reelle Zahlen.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Di 28.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
$ [mm] \frac{f(y,x)-f(x,x)}{y-x}<\frac{g(y)-g(x)}{y-x}<\frac{f(y,y)-f(x,y)}{y-x} [/mm] $ für alle x,y mit x [mm] \ne [/mm] y
Ist x fest, so folgt mit y [mm] \to [/mm] x:
[mm] f_{x_1}(x,x)=g'(x).
[/mm]
Mehr gibts dazu nicht zu sagen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 28.02.2012 | | Autor: | blubbhubb |
Okay,
alles klar. Vielen Dank für Deine Hilfe!
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