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| Aufgabe | Bilden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung:
[mm] z=x²e^{y} [/mm] |
Die Ableitungen sind kein Problem, aber am Ende soll ein zusammengefasstes Ergebnis, zweiter Ableitung nach x und y aufgelöst von
[mm] 2xe^{y}
[/mm]
rauskommen, auf das ich nicht komme bzw. nicht weiß, wie ich das bilden soll.
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Hallo Fenomenon,
ich habe ein bisschen gebraucht, bis ich die Aufgabenstellung richtig gedeutet habe. Da ist im TeX-Satz nämlich ein wichtiges Zeichen verschwunden.
> Bilden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter
> Ordnung:
>
> [mm]z=x²e^{y}[/mm]
Verwende in Formel nie die kleinen hochgestellten Zahlen von Windows, sondern schreibe x^{2} genauso wie e^{y}.
Die Funktion ist also [mm] z(x,y)=x^2e^y.
[/mm]
> Die Ableitungen sind kein Problem, aber am Ende soll ein
> zusammengefasstes Ergebnis, zweiter Ableitung nach x und y
> aufgelöst
Diesen Satz begreife ich nicht. Ich nehme an, es geht um die gemischte Ableitung [mm] \bruch{\partial z(x,y)}{\partial{x}\partial{y}}, [/mm] kurz [mm] z_{xy}
[/mm]
> von
>
> [mm]2xe^{y}[/mm]
>
> rauskommen, auf das ich nicht komme bzw. nicht weiß, wie
> ich das bilden soll.
Das Ergebnis ist richtig. Wenn Du etwas anderes raushast, dann sind die Ableitungen wohl doch ein Problem.
Rechne mal vor, dann finden wir den Fehler bestimmt.
Grüße
reverend
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Entschuldige, mit den Editoren hab ich es nicht so, aber ich versuche mein Bestes ;)
Nein du hast mich richtig verstanden, ich verstehe die Endschreibweise, wie du es nennst, die gemischte Schreibweise nicht. Ich hab das Lösungsskript vorliegen, deshalb weiß ich, dass meine Ableitungen richtig sind, aber ich versuche sie einfacher als du darzustellen. Sei mir nicht böse ;)
f´(x)= [mm] 2xe^{y}
[/mm]
f´´(x) = [mm] 2e^{y}
[/mm]
f´(y)= [mm] x^{2}e^{y}
[/mm]
f´´(y)= [mm] x^{2}e^{y}
[/mm]
Zusammengefasst:
f´´(x,y) = [mm] 2xe^{y}
[/mm]
Warum? Wie kann das Endergebnis identisch mit der ersten Ableitung nach x sein?
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Hallo,
wenn du schon auf die partiellen Differentialoperatoren verzichtest, schreibe doch besser die Ableitungen so:
[mm] f_x, f_y, f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} [/mm] etc.
Und (reverend hat das glaube ich auch schon angesprochen): das Wort zusammengefasst ergibt in diesem Zusammenhang keinen Sinn. Es geht um die Ableitung einmal nach x und dann nach y, also
[mm] f_{xy}=2x*e^y
[/mm]
Zunächst einmal ist bemerkenswert, dass diese Ableitung gleich ist wie [mm] f_{yx}. [/mm] Es scheint also offensichtlich gleich zu sein, in welcher Reihenfolge man ableitet. Wann dies so ist und weshalb, das ist zusammengefasst in dem wichtigen ![[]](/images/popup.gif) Satz von Schwarz, den ihr entweder schon durchgenommen habt, oder der demnächst ansteht.
Dass hier auch
[mm] f_{xy}=f_x
[/mm]
gilt, ist allein dem Verhalten der Exponentialfunktion geschuldet. In diesem zusammenhang kann man es sozusagen als Zufall betrachten.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Fenomenom |
Okay ich habs. Satz von Schwarz war ein gutes Stichwort.
Dankeschön
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| Aufgabe | Gleiche Aufgabenstellung wie oben (Partielle Ableitung 1. & 2. Ordnung):
[mm] z=x^{y} [/mm] |
Nach x abgeleitet, stellt das alles kein Problem dar.
f´(x) = [mm] yx^{y-1}
[/mm]
f´´(x) = [mm] y(y-1)x^{y-2}
[/mm]
Bis hier hin kann ich das Bestens nachvollziehen.
f´(y) = [mm] x^{y} [/mm] ln(x)
f´´(y)= [mm] x^{y} [/mm] ln(x) ln(x) (steht so in der Lösung)
Wenn ich nach y ableite und die 1. Ableitung ist auch hier kein Problem, müsste dann der abgeleitete ln(x) nicht 1/x lauten in der 2. Ableitung?
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Hallo Fenomenom,
> f´(y) = [mm]x^{y}[/mm] ln(x)
>
> f´´(y)= [mm]x^{y}[/mm] ln(x) ln(x) (steht so in der
> Lösung)
>
> Wenn ich nach y ableite und die 1. Ableitung ist auch hier
> kein Problem, müsste dann der abgeleitete ln(x) nicht 1/x
> lauten in der 2. Ableitung?
Nein, denn du leitest ja nach y ab, nicht nach x. [mm] $\ln(x)$ [/mm] ist in diesem Fall einfach eine Konstante, die nicht differenziert wird.
Um genau solche Missverständnisse auszuschließen, solltest du - wie dir auch schon Diophant in seiner Antwort geraten hat - statt f'(y) und f''(y) besser folgende Notation verwenden:
Statt f'(y): Besser [mm] $f_y$ [/mm] oder [mm] $\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}$
[/mm]
Statt f''(y): Besser [mm] $f_{yy}$ [/mm] oder [mm] $\bruch{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}$
[/mm]
Grüße
franzzink
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Fenomenom |
Und wieder ein doofer Denkfehler, der sich einschlich.
Dankeschön. :)
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