Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 11.09.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Zeige: Es gibt keine Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] mit [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= [/mm] y, [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= [/mm] 2x. |
Nun aus der partiellen Ableitung (nach x abgeleitet) folgt doch, dass f(x,y)=2xy ist? Und aus der (nach y abgeleitet), dass f(x,y)= xy ist? Da diese nicht gleich sind, gibt es keine Funktion?
Stimmt das? Und wie kann ich dies schöner formulieren?
Wenn ich jetzt eine Funktion f=f(x,y) suche & nur die partiellen Ableitungen habe, bleibt mir da nichts anderes übrig, als auszuprobieren? Oder gibt es da Tricks eine bzw. in diesem Fall keine zu finden?
Danke für die schnelle Hilfe. mfg :)
|
|
| |
|
Hallo unibasel,
> Zeige: Es gibt keine Funktion [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{2}[/mm] mit
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=[/mm] y, [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=[/mm]
> 2x.
> Nun aus der partiellen Ableitung (nach x abgeleitet) folgt
> doch, dass f(x,y)=2xy ist?
> Und aus der (nach y abgeleitet),
> dass f(x,y)= xy ist?
Du hast die Variablen, nach denen abgeleitet ist, verdreht.
Und: Es fehlen die Konstanten!
Aus [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y[/mm] folgt [mm]f(x,y)=xy+g(y)[/mm] mit einer von y abh. Funktion g (, die bzgl. x konstant ist und bei der Ableitung nach x zu 0 wird) ...
Analog für die Ableitung nach y ...
> Da diese nicht gleich sind, gibt es
> keine Funktion?
>
> Stimmt das? Und wie kann ich dies schöner formulieren?
>
> Wenn ich jetzt eine Funktion f=f(x,y) suche & nur die
> partiellen Ableitungen habe, bleibt mir da nichts anderes
> übrig, als auszuprobieren? Oder gibt es da Tricks eine
> bzw. in diesem Fall keine zu finden?
>
> Danke für die schnelle Hilfe. mfg :)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Es gibt keine Funktion [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{2}[/mm] mit
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=[/mm] y, [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=[/mm]
> 2x.
> Nun aus der partiellen Ableitung (nach x abgeleitet) folgt
> doch, dass f(x,y)=2xy ist? Und aus der (nach y abgeleitet),
> dass f(x,y)= xy ist? Da diese nicht gleich sind, gibt es
> keine Funktion?
>
> Stimmt das? Und wie kann ich dies schöner formulieren?
>
> Wenn ich jetzt eine Funktion f=f(x,y) suche & nur die
> partiellen Ableitungen habe, bleibt mir da nichts anderes
> übrig, als auszuprobieren? Oder gibt es da Tricks eine
> bzw. in diesem Fall keine zu finden?
>
> Danke für die schnelle Hilfe. mfg :)
Noch eine Möglichkeit:
aus [mm] f_x=y [/mm] und [mm] f_y=2x [/mm] folgt, dass alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung von f existieren und dass gilt:
[mm] f_{xx}=0= f_{yy}, f_{xy}=2, f_{yx}=1 [/mm] .
Damit ist f [mm] \in C^2(\IR^2). [/mm] Der Satz von Schwarz sagt dann:
2= [mm] f_{xy}= f_{yx}=1 [/mm] .
Widerspruch !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Di 11.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Herzlichen Dank beiden! :)
|
|
|
|
